引領學生思維向縱深發展

李　輝

案例描述

在“圓的周長”練習課上，當練習了一些常規的基礎題后，我出示了這樣一題：繞地球赤道一周架設若干個3米高的電線桿并架上電線，那么所用的電線比直接鋪在地球表面一圈用的電線長多少米?(假設地球赤道是個完美的圓)頓時，教室“炸開了鍋”，有的說至少也得幾萬米吧!有的說地球的半徑又不知道，根本無法計算……同學們議論紛紛。“難道真的無法知道結果嗎?”我故作疑惑地說：“請同學們冷靜下來認真思考。”

“要是能知道地球半徑就好了”，同學們嘀咕著。幾分鐘后，只見李鍵偉同學說：“我曾在一本書里看過地球赤道的半徑好像是6300多千米”，我說那就假設是6300千米吧。同學們像是撈到了“救命的稻草”紛紛埋頭算了起來。不一會兒又有同學議論開了，“不可能，不可能，怎么能只多18.84米呢?這與我們想象的結果相差也太大了。”“難道你們懷疑自己算的有問題?”我及時參與了進來。“計算絕對沒有錯，我們算的結果也是18.84米。”這時已有更多的同學算出了結果。

“老師，這是怎么回事?怎么與我們想象的數據相差這么大?”望著同學們迷惑的眼神。我說：“是呀，怎么回事呢?但我相信同學們經過認真思考后一定會明白其中的道理。”我鼓勵同學們繼續思考。

又是一陣沉默，突然梁鋒同學興奮地站起來說：“其實根本不需要知道地球半徑的具體數據，也可以算出結果。我是這樣想的，設地球赤道的半徑為r米，那么外圈電線圍成的那個圓的半徑就是(r+3)米，因此，2π(r+3)-2πr=18.84米。”話音剛落，同學們就報以熱烈的掌聲。

“不知道地球半徑是多少也能算出結果，真是太了不起了!我們就把這種方法叫做梁氏方法吧。”我及時表揚了這位同學。

“其實不必要這么麻煩，只要用2π乘3就可以了。”一向愛思考的鄭靜同學說。

大部分同學一臉茫然。而這正是我所預想的，也是我所期待的。我情不自禁地對大家說：“你們覺得有道理嗎?”

這時有幾個活躍分子茅塞頓開，心領神會地直點頭。“誰能把理由說給大家聽聽?”我把球又踢給了全班同學。

“從剛才梁鋒同學推算的過程中我們可以發現，大、小兩圓周長的差其實與小圓的大小沒有關系，只與半徑的差有關。”愛想象的馬迪同學站起來說，“這樣我們就可以把地球縮小成一個點，那么，電線圍成的圓就是一個半徑為3米的圓，要求多的長度，實際上就是求半徑為3米圓的周長。因此可直接列式為2π×3。”

“你的想象太妙了!”我情不自禁地和同學們一起鼓起了掌，這時同學們都露出了笑臉。至此我并沒有罷休，而是進一步啟發學生說：“通過這道題，你能發現什么規律嗎?跟你的同桌交流一下。”

同學們經過討論、交流后。有的說：“我發現，大圓周長比小圓周長多的部分可以用公式π(D-d)或2π(R-r)直接計算”；也有的同學說：“我發現要求大、小兩圓周長的差實際就是大小兩圓半徑差的2π倍。”

案例反思

1挑戰性的問題是激發學生思維的源泉。

產生學習動因的根本原因是問題。如果問題不具備刺激性、挑戰性，學生就不會產生內在的動力。就不會產生欲罷不能的探究欲望。在進行了一定量的常規練習后，學生對圓周長的計算方法已基本掌握并形成了一定的技能，如果再繼續做一些常規性的練習，其作用也只能是機械重復，學生的思維只能停留在原有的認知層面上，甚至對練習失去興趣。為了激發學生的興趣，發展學生的思維，在學生練習感到疲倦時，我及時拋出這樣一個富有挑戰性的問題。當問題出現后，學生個個為之一振，因為題目沒有告訴赤道的半徑，再也無法直接套用公式了，這樣原有的認知平衡就被打破了。怎么辦呢?逼著學生想思路找辦法、從而激活了學生的思維。

2恰當的目標定位是學生思維發展的關鍵。

曾經有許多老師一直把“順利解題”作為練習的終極目標，往往就題講題，認為學生會做題，就完成了教學任務，而忽略了更深層元素，即學生到底有多大的收獲，他們的思維是否得到了實質上的提升。在本節練習課上，我并沒有把讓學生掌握解題技巧作為練習的惟一目標、而是以此為平臺，把提升學生的思維作為練習的發展性目標。正因為有了這樣的目標定位，當學生終于用具體的數據算出結果時，我并沒有就此罷休，而是巧借學生的疑惑引領學生繼續思考：一是讓學生自己想辦法解釋想象與實際之間的差距；二是引導學生透過現象尋找普遍規律。這樣學生的目光就從關注個案提升到透過現象看本質，引導學生既見樹木又見森林。在這一過程中學生的思維經歷了以下幾個層次：一是盲目猜測階段，即跟著感覺走；二是具體計算階段，由于思維的慣性，學生認為要解決問題必須知道具體的數據，即地球的半徑。當有位學生說出地球的半徑可能是6300多千米時，學生如獲至寶，紛紛埋頭苦算，可以說在這一階段學生的思維還是低層次的。三是推理與想象階段。在這一層次中學生的思維有了質的飛躍，他們擺脫了具體的、有形的實物和數據，進行了合情的推理和想象。在以上過程中學生不僅掌握了知識和技能，而且感悟了猜測、驗證、假設、推理等數學思想方法，思維得到了有效的提升。

3教師的引領是學生思維向縱深發展的保證。

事實上，由于學生正處于知識、情感、價值觀的初步發展階段，他們的知識水平和閱歷都有限，在多數情況下學生的思維是不可能自發地得到提升和完善的，往往需要教師有價值的引領，這決定了教師是課堂的靈魂。作為教師，首先要預設在前做到心中有數，什么時候提出什么問題，學生可能會有怎樣的反映，教師應有所預設。如本案例當問題出現后，有的學生盲目猜測，有的學生嚷嚷說沒法做，以及后來鄭靜同學的想法……這些都在我課前預設之中，因此故作疑惑地說“真的沒法知道結果嗎?”引導學生冷靜思考。其次，當學生出現滿足感、思維產生懈怠時，教師應及時予以引燃、助推，以深化學生的思維。如在本案例中，當學生用具體數據解決問題后往往會產生滿足感，這時如果沒有教師有意識的引領，以后的推理與想象、概括與發現，學生是不可能自發地產生的，發展學生的思維也就成了一句空話。同時教師還要善于激發學生，讓學生產生一種成就感，如當有的學生出現與眾不同的想法時我真誠地為他鼓掌叫好。這樣，在教師有目的的引導下，學生的思維才有可能一步步地走向深入。

(作者單位：邳州市明德實驗學校)