勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理是幾何中的重要定理，其應(yīng)用極其廣泛，歷年來都是各地中考命題的熱點．了解一下往年中考怎么考，你學(xué)習(xí)時就會胸有成竹！

一、 直接應(yīng)用

三、構(gòu)造應(yīng)用

例３（2006年湖南省常德市中考試題）如圖３，P是等邊三角形ABC

內(nèi)的一點，連接PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，連接CQ.

（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若PA:PB:PC=3:4:5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

解析：（1）猜想：AP=CQ.

證明：在△ABP與△CBQ中，因為AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ -∠PBC=∠CBQ，所以△ABP≌△CBQ，所以AP=CQ.

（2）由PA∶PB∶PC=3∶4∶5，可設(shè)PA=3a，PB=4a，PC=5a，連接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ= 60°，所以△PBQ為正三角形，所以PQ=4a.于是在△PQC中，因為PQ2+QC2=PQ2+PA2=16a2+9a2=25a2=PC2，所以△ＰQＣ是直角三角形.

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