幾何圖形設計試題的解法分析

幾何圖形設計，是中考的考點之一.近年來的作圖題多與現實生活聯系， 現舉兩例供同學們賞析.

例1今有一片正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路， 把這片土地分成形狀相同且面積相等的四部分. 畫出不同的修筑方案(在給出的正方形圖紙上分別畫圖， 并簡述畫圖步驟).(山東省中考試題)

分析：三種方案如圖所示:

如圖(1)，取正方形四邊中點，然后連接對邊的中點;如圖(2)，作正方形的兩條對角線;如圖(3)，在正方形四條邊上各取一點A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1，連接A1C1、B1D1.

說明：此題屬于結論開放型的作圖題，答案不唯一.本題的第三種方案不易想到，但是三種方案有著密切的聯系，圖(2)可以由圖(1)中兩條互相垂直的線段繞正方形的中心Ｏ旋轉４５°得到，繼續旋轉某一角度，便可得到圖(3)中的情況.

事實上，本題更一般的解法是：只要過已知正方形的中心，任作兩條相互垂直的直線，便可得到符合題意的不同修筑方案.該題的原型出自華東師范大學出版社出版的八年級上冊數學課本P52習題第13題:請你用不同的方法將一個矩形分成面積相等的兩部分.(1)觀察一下所分成的兩部分圖形之間的位置關系;(2)如果你用的是直線，那么這樣的直線有多少條?它們之間又有什么聯系呢?(3)若將矩形分成面積相等的四部分，你又能發現什么?比較這兩個題目，同學們就不必一味地害怕中考試題了，有些考題不過是從我們平時的練習題中演變而來的.

例2為了美化環境，需要在一塊正方形空地上分別種植四種不同的花草，現將這塊空地按下列要求分成四塊：(1)分割后的整個圖形必須是軸對稱圖形;(2)四塊圖形形狀相同;(3)四塊圖形面積相等.現已有兩種不同的方法:(1)分別作兩條對角線(圖a);(2)過一條邊的四等分點作這邊的垂線段(圖b)(圖b中兩個圖形的分割看作同一方法).

請你按照上述三個要求，分別在下面三個正方形中給出另外三種不同的分割方法(只要求正確畫，不寫畫法).(泰州市中考試題)

分析：圖c、圖d易于畫出，再畫一個，比較困難.問題在于部分考生不能從前面幾種畫法中概括出分塊的本質特征，單純靠嘗試，缺乏目的性.通過圖a、圖b、圖c、圖d可以看出，若以CD為對稱軸，只要能將ABCD分成兩個面積相等、形狀相同的圖形，然后再根據對稱性畫出另一部分;在圖b至圖d中，我們看到所畫的分割線均通過矩形ABCD的中心.事實上，通過對稱中心畫直線均能將矩形ABCD分成面積相等、形狀相同的兩個圖形.這樣將圖b中的EF繞對稱中心旋轉，除得到圖c、圖d外，還可得到圖e、圖f.

一般的，矩形ABCD的分割線只要關于其對稱中心對稱，均能將矩形ABCD分割成面積相等、形狀相同的兩個圖形，有趣的是這些分割線還可以是折線、弧線，如右圖.

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