２００６年文科高考數學試題概率淺析

概率是現代應用數學的重要分支。2006年的文科高考對數學中概率的考查力度明顯加大，且把概率作為考察學生分析、解決實際應用問題能力的主要素材，全國16套文科數學試題及廣東數學（B卷）試題、江蘇數學卷中都有概率題，其中江西省、四川省、安徽省文科數學各有一道選擇填空題和一道解答題都是概率題，滿分是17分；湖北省文科數學有一道選擇填空題和一道填空題都是概率題，滿分是10分；其余各省中有12套是解答題，滿分是12分或13分，另有3套是填空題。概率一章授課時間為13課時，占文科數學總授課時間的13/281≈4.6%，而大多數省份概率試題分數占總分的17/150≈11.3%或12/150=8%，概率試題明顯地受到了命題者的青睞.概率試題一般通過摸球類（摸球、摸獎、取卡片等）問題、比賽類問題、射擊類（射擊、擲骰子等）問題等，考查學生利用

排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率、利用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式以及在n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率公式計算一些事件的概率的能力。試題貼近教材，許多題目取自于課本的基本題或是基本題的變形，突出基本知識，重視基本技能，在基礎題中考查能力，既達到了選拔人才的目的，又促進了高中數學教學，對中學數學教學發揮了積極的導向作用。

例1、甲：是互斥事件；乙：是對立事件。那么：（）。

A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件。

B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件。

C. 甲是乙的充要條件。

D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

2006年湖北省文科高考數學第5題。

解由“對立事件必定是互斥事件，但是互斥事件不一定是對立事件”知：甲是乙的必要條件但不是充分條件。選擇B。

這是一道考查概率概念及邏輯的簡單問題，題目直接選自于高中數學第二冊（下A）132頁習題11.2的第2題。

例2、在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者。那么選到的2名都是女同學的概率是（ ）。（結果用分數表示）

2006年上海市文科高考數學第10題。

解：從8+4=12名同學中任意地挑選2名同學共有C²₁₂= 66 種挑選方法；其中選到的2名都是女同學的挑選方法有C²₈=28種，所以，選到的2名都是女同學的概率是：28/66/=14/33。

這道考題是高中數學第二冊（下A）124頁例2的變形，僅僅把“白球、黑球”換成“男生、女生”，修改了數據。

例3、接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為0.80，現有5人接種疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為（）。（精確到0.01）

2006年湖北省文科高考數學第12題。

解： 5人中至少有3人出現發熱反應包括：“恰有3人出現發熱反應；恰有4人出現發熱反應；恰有5人出現發熱反應”三種情況。所以5人中至少有3人出現發熱反應的概率為：

這道考題有高中數學第二冊（下A）134頁例1的影子.

例5、每次拋擲一枚骰子（六個面上分別標以數1，2，3，4，5，6）。

⑴ 連續拋擲2次，求向上的數不同的概率；

⑵ 連續拋擲2次，求向上的數之和為6的概率；

⑶ 連續拋擲5次，求向上的數為奇數恰好出現3次的概率。

2006年福建省文科高考數學第18題。

⑵ 連續拋擲2次骰子，一共有 n = 36種不同的結果. 由于1+5=2+4=3+3=4+2=5+1，所以向上的數之和為6的結果有 m = 5種 .故連續拋擲2次骰子，向上的數之和為6的概率是：P=5/36。

答：連續拋擲2次骰子，向上的數不同的概率是5/6；向上的數之和為6的概率是5/36。連續拋擲5次骰子，向上的數為奇數恰好出現3次的概率是5/16。

這道考題是高中數學第二冊（下A）124頁例3的變形.

例6、甲、乙兩臺機床相互沒有影響地生產某種產品，甲機床產品的正品率是0.9，乙機床產品的正品率是0.95。

⑴ 從甲機床生產的產品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率；

⑵從甲、乙兩臺機床生產的產品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率。

2006年天津市文科高考數學第18題。

解:把甲機床生產的１件產品是正品的事件記作Ａ；把乙機床生產的1件產品是正品的事件己作B.則P

答：從甲機床生產的產品中任取3件，其中恰有2件正品的概率是0.243；從甲、乙兩臺機床生產的產品中各任取1件，其中至少有1件正品的概率是0.995。

這道考題是高中數學第二冊（下A）134頁例1的變形。

例7、甲、乙兩班各派2名同學參加年級數學競賽，參賽同學成績及格的概率都為0.6，且參賽同學的成績相互之間沒有影響。求：

⑴甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率；

⑵甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率。

2006年遼寧省文科高考數學第18題。

解：把甲班參加數學競賽1名同學及格的事件記作A，把乙班參加數學競賽1名同學及格的事件記作B。則P(A)

⑵ 甲、乙兩班參賽4名同學成績都不及格的概率是 0.4⁴= 0.0256，故甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率為1-0.0256=0.9744。

答：甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率是0.2304；甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率為 0.9744。

注意：⑴容易錯解為0.6×0.6 = 0.36 .

例8、某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球獲得二等獎；摸出兩個紅球獲得一等獎?，F有甲、乙兩位顧客，規定：甲摸一次，乙摸兩次.求：

⑴ 甲、乙兩人都沒有中獎的概率；

⑵ 甲、乙兩人至少一人獲二等獎的概率.

2006年江西省文科高考數學第18題。

注意：當甲不獲得二等獎時，乙必須獲得二等獎但不能獲得一等獎，即事件 AA不能發生。

例9、甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球、2個白球；乙袋裝有2個紅球、n個白球. 現從甲、乙兩袋中各任取2個球。

⑴ 若n = 3，求取到的4個球全是紅球的概率；

⑵ 若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為3/4，求 n。

2006年浙江省文科高考數學第18題。

這一道考題是等可能事件的概率與一元二次方程的綜合，計算量較大。

例10、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗. 每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察治療。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。 設每只小白鼠服用A有效的概率為2/3，服用B有效的概率為1/2。

⑴ 求一個試驗組為甲類組的概率；

⑵ 觀察3個試驗組，求這3個試驗組中至少有一個甲類組的概率.

2006年全國卷Ⅰ、Ⅲ文科高考數學第19題.

解：⑴ 用A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i= 0、1、2；用B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有 i 只”，i = 0、1、2。A_i與B_i相互獨立。依題意有：

2006年四川省文科高考數學第12題。

這是一道等可能事件的概率問題，需要從由0到9這10個數字中任取3個數字組成的沒有重復數字的三位數中把不能被3整除的數都列舉出來，不能遺漏。利用對立事件的概率公式轉化為：從由0到9這10個數字中任取3個數字組成的沒有重復數字的三位數中把能被3整除的數都列舉出來，不能遺漏。

解：從0到9這10個數字中任取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數共有個，故n=648。

一個三位數能被3整除的充要條件是：這個三位數的3個數字之和是3的倍數。

（1）3個數字中含有0的有12個：0，1，2；0，1，5；0，1，8；0，2，4；0，2，7；0，3，6；0，3，9；0，4，5；0，4，8；0，5，7；0，6，9；0，7，8。

3個數字中含有0的能被3整除的三位數共有12×2×2×1=48個。

（2）3個數字中不含有0的有30個：

1，2，3；1，2，6；1，2，9；1，3，5；1，3，8；1，4，7；1，5，6；1，5，9；1，6，8；1，8，9；

2，3，4；2，3，7；2，4，6；2，4，9；2，5，8；2，6，7；2，7，9；

3，4，5；3，4，8；3，5，7；3，6，9；3，7，8；

4，5，6；4，5，9；4，6，8；4，8，9；

5，6，7；5，7，9；

6，7，8；

7，8，9。

3個數字中不含有0的能被3整除的三位數共有個30×3！=180個。

故知m=48+180=228。

從0到9這10個數字中任取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個數能被3整除的概率為P'=228/648=19/54。

所以，從0到9這10個數字中任取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個數不能被3整除的概率為P=1-19/54=35/54。選擇C。

解答這道題需要有序思考，需要耐心與細致。第一步計算n與高中數學第二冊（下A）89頁例5完全一樣；第二步計算m需要列出所有符合條件的具體組合，然后計算出符合條件的排列數。

2006年文科高考數學試題中的概率問題主要考查概率的基礎知識，所以在2007年的學習中，文科考生對概率這一部分知識應該緊扣教材、重抓基礎、活用公式、縝密思考、準確計算.要正確理解和判斷必然事件、不可能事件、隨機事件、等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨立事件；要能靈活運用概率公式計算相關事件的概率；等可能事件的概率是基礎，要能靈活地運用排列組合的知識計算等可能事件的概率；要特別注意“至少有一個發生”、“至多有一個發生”、“恰好有一個發生”、“都發生”、“都不發生”的區別，善于將“至少有k個發生”、“至多有k個發生”的問題轉化為“恰好有m個發生”等問題加以解決。

(作者單位 陜西省藝術師范學校）

責任編輯 楊博