數學概念教學：從問題開始

蓋房子要有水泥、黃砂、磚頭、石灰等建筑材料，同樣建造“數學大廈”也需要有相應的“建筑材料”，它們就是數學概念，即數學家思維的產物，是數學思維的結果。因此，作為數學活動的數學教學就應該暴露數學概念產生的思維過程。思維是從問題開始的，沒有問題就沒有思維，至少沒有專注的深入的思維。所以，數學概念應該從問題開始，具體地說，數學教學應該從導致概念產生的問題開始。

學習數學概念有兩種最基本的形式，一種是概念的形成，一種是概念的同化，概念的形成被認為是偏重于發現性學習的概念學習方式，從大量的具體例子出發，以歸納的方法概括出一類事物的本質屬性。它通過分化類比具體事例，找出共同屬性，概括形成概念。下面就是按照這種模式設計的一課函數概念課的教學：

[第一步]讓學生說說下面例子中的變量與變量之間的表達方式：

1、圓的周長與圓的半徑；

2、由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻；

3、用表格繪出的某物品的銷售量與單價；

[第二步]找出上述各例中兩變量之間關系的共同屬性。

[第三步]提出共同本質屬性之間的各種假設，讓學生運用變設對假設進行檢驗，以確認其本質屬性。

[第四步]讓學生舉例，將上述本質屬性推廣到同類事物，概括形成函數概念并用定義表示。

從表面看，在這種學習模式中，學生解答著一個又一個問題，是積極地參與了概念形成的思維活動，但是從實質上看，由于缺少整體的問題背景，學生并不知道上述活動的目的，如為什么要解答上述問題？更不知道作出判斷和評價的依據，盡管他們在解答由教師提出的一個又一個問題，但是他們不知道這些問題之間聯系。因此，他們僅僅是教師各項指令的執行者。從根本上說，這種學習活動仍然是機械的，而遠非是有意義的。

概念的同化是偏重于接受學習的概念學習模式，其程序一般如下：給出定義，通過分類比較與原認知結構建立聯系，通過辨識區別與原有認知結構的某些概念，再強化將新概念納入原有的概念系統之中。在這種學習模式中，把定義作為概念學習的起點，有意識地舍棄了發現定義的環節，希望以此來提高學習的效率。但是，這樣一來，由于學生“缺乏自我判斷的能力，不愿意為處理材料而主動地付出必要的努力，他們抓住的只是知識的表面，卻以為業已掌握了真正的意義。”（奧蘇貝爾）所以學習難以深入。造成這種現象的根本原因在于在這種學習模式中，缺少問題背景，因而學習活動缺乏動力。加上中學生的數學觀念系統發展尚未健全，思維能力低下，無法自己提出問題，思維活動就無法深入地展開，這就嚴重地影響了學習的質量。

為了從根本上改變上述狀況，就必須為這種學習模式設置總的問題背景，即提出初始問題。在新課程教學理念下，提出了改進了的概念教學模式，即問題模式。其要點是：在采用概念的同化或概念的形成的模式之前，增加兩個環節，一是通過解決初始問題的思維活動或審美活動，讓學生產生建立新概念的意識；二是在給概念下定義之前，首先讓學生建立起與新概念相關的觀念（即從總體上把握概念）。

例如，在上面所提到的函數概念的教學中，應增加兩個環節：

1、提出初始問題。例如：出于防洪及灌溉的需要，要經常知道水庫的實際儲水量，你能為它設計出一個簡便易行的測量儲水量的方案嗎？具體的應該做那些工作？學生們容易知道，直接測量水庫的儲水量是困難的。但是測量水庫在某一點的水深卻是很容易的。那么能不能通過測量水深來間接地測量儲水量呢？然后再討論類似的問題，如勻速行駛的汽車能不能用它的時間來表示它的路程？能不能用物體的質量來表示彈簧伸長的長度等等。通過討論，讓學生理解建立函數關系的目的（即用較容易刻劃的變量來刻劃另一個變量），產生起建立函數概念的意識。

2、揭示函數概念的內涵（即建立有關函數概念的觀念）。并不是任意兩個互不相干的變量都可以實現用其中的一個來表示另一個的目的的，由此提出問題，當兩個變量具有什么樣的聯系時，才能實現用一個變量刻劃另一個變量的目的呢？在這個問題的指引下，尋求函數概念本質的活動就可以展開了。于是學生就可以利用其原有的認知結構建構函數概念的活動。從而掌握了學習與思考的主動權。

這樣再執行前面的教學程序時，學生的學習活動就成為一項有目的的、與原有的認知結構建立了有機聯系的、具有明確的價值標準的有意義的學習活動了。而這一切正是我們所要追求的。

責任編輯楊博