從三角形中的不等關系說起

三角形中的不等關系主要體現在兩個方面：(1)邊——三角形任意兩邊之和大于第三邊；(2)角——三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.這兩個不等關系在解題時有著重要的應用，下面舉例說明：

例1如下圖所示，已知△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分線且交BC的延長線于D，你能比較∠ACB與∠B的大小嗎？說出你的理由．

解：∠ACB＞∠B，理由如下：

因為AD平分∠EAC，

所以∠1=∠2.

又因為∠ACB是△ADC的一個外角，∠2是△ABD的一個外角，

所以∠ACB＞∠1，∠2＞∠B，

所以∠ACB＞∠B．

例２如右圖所示，點P在△ABC內，連接BP、CP，試說明∠BPC＞∠A.

分析：∠BPC和∠A在兩個不同的三角形中，不能直接比較它們的大小，必須作輔助線把這兩個角聯系起來，聯想到“三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角”，可以延長BP交AC于D解決問題．

解：延長BP交AC于D，由于∠BPC是△PDC的外角，所以∠BPC＞∠PDC．

又因為∠PDC是△ABD的外角，所以∠ＰＤＣ＞∠A．

所以∠BPC＞∠A．

說明：本題還可“連接AP并延長”，同學們不妨自己動手試一試.

例3如右圖所示，點O是△ABC內任意一點，試說明：AB+AC＞OB+OC.

分析：構造出兩個三角形，使之包含結論中的4條線段，可利用“三角形兩邊之和大于第三邊”解決問題.

解：延長BO交AC于D，則在△ABD中，AB

+AD＞OB+OD．

在△ODC中，OD+ＤC＞OC.

所以AB+AD+OD+DC＞OB+OD+OC，

即AB+AC＞OB+OC.

例4如下圖，小明急需從B村出發去C村完成一項任務，由于B、C之間有一座小山，故從B不能直達C，他可經過D、E到達C村，也可經過A到達C村，請你就以上兩種路線選擇一條去C最近的，并說明理由.

分析：選擇的路線應為B→D→E→C，本題同樣需要構造三個三角形，然后利用“三角形兩邊之和大于第三邊”解決問題.

解：小明去C村應選擇的路線為B→D→E→C.

理由：延長DE、ＥＤ，分別交AＣ、AＢ于Ｎ、Ｍ．

在△AMN中，AM+AN＞MN，即AM+AN＞MD+DE+EN．

在△BMD中，BM+MD＞BD，所以BM＞BD-MD.

在△CNE中，CN+EN＞CE，所以CN＞CE-EN．

所以AM+AN+BM+CN＞DE+BD+CE，

即AB+AC＞BD+DE+CE.

故最近路線為B→D→E→C．