趣談打水問題

先看這樣一則打水問題：甲、乙、丙3個小朋友同時到同一個自來水龍頭前排隊打水，甲打滿一桶水的時間是3分鐘，乙打滿一桶水要2分鐘，丙打滿一桶水要1分鐘，若要使他們在這個自來水龍頭前等待時間最少，該怎樣安排三人的打水順序?

[分析]因為每個人打水的時間不一樣，所以打水次序的不同就決定了等待時間的多少，既然如此，那我們不妨就從常規(guī)思路入手，列出三人所有可能的打水次序，同時求出三個人合計等待時間，從而直觀判斷哪一種情況符合題意要求：

由上表可知：如果要使等待的總時間最少，可以采用第六種順序來打水，對這種情況稍加分析，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律——“先少后多”，也就是：要符合題意要求，就應(yīng)該讓打滿一桶水所需時間較少的人先打水，依此類推，就可解決問題．即“丙→乙→甲”是最佳方案．

弄清了這個問題的解答訣竅，大家就不難解決下面這則打水問題：甲、乙、丙三人各拿1、2、3個相同容量的水壺去打水，水龍頭只有一個，如何安排打水順序，可使他們?nèi)嘶ㄙM總時間(包括等待的時間)最少?

[分析]設(shè)打一壺水需用t分鐘，則甲、乙、丙三人的打水時間分別為t、2t、3t分鐘．可以看出，甲、乙、丙三人的打水時間是固定不變的，要使三人花費的總時間最少，只能在等待的時間上動腦筋．

顯然，安排丙先打水是不足取的，因為丙的打水時間為3t分鐘，是三人打水時間中最長的，則甲與乙的等待時間也是最長的.反之，安排甲先打水為最佳.此時甲打水用t分鐘，乙、丙等待分別也是t分鐘;接下來安排乙打水，用2t分鐘，丙等待2t分鐘;最后丙打水3t分鐘，故三人花費總時間為10t分鐘．這種“先易后難”的規(guī)律與上題總結(jié)出的“先少后多”的規(guī)律完全相同．

值得說明的是，這則打水問題是我國當代數(shù)學家張廣厚為解釋“排序不等式”問題的結(jié)論而提出的.“排序不等式”問題的具體內(nèi)容是：若有排序a１≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，那么在這兩組數(shù)之間，所有可能的乘積之和，以a1b1+a2b2+a３b３+…+anbn為最大，而以a1bn+a２bn-1+…+an-１b２+anb1為最小.這個數(shù)學結(jié)論較為抽象，為了方便大家的理解和接受，張廣厚開動腦筋把它變成上面這個現(xiàn)實生活中的具體問題．從這個問題的解答可以看出，事實上的排序我們有注水時間t＜2t＜3t，它與3＞2＞1是反序的，因此花費的總時間3×t+2×2t+１×3t=１０t就是最少的，這個最經(jīng)濟的安排恰好是對這個數(shù)學結(jié)論的描述.

怎么樣?數(shù)學家的思維是不是與常人不一樣?張廣厚把抽象的數(shù)學問題與現(xiàn)實生活中的具體問題進行對照，使問題變得形象生動，易于理解．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文