例談數學習題的“加工”

對知識的理解與應用往往體現在問題的解決之中，因此，為學生設計高質量的習題是完整的教學過程中一個不可缺少的重要環節。

數學習題浩如煙海，如果讓學生長期陷于“題海”而不能自拔，非但不能提升數學素養，還會使他們產生厭學情緒。所以，作為學習活動的引導者，教師應該責無旁貸地擔負起對習題進行適當加工的責任。這種加工的目的在于“放大”習題的價值，為學生獲取知識提供優質、高效的載體。

1.注重“挑戰性”，體現“一般性”。

原題：如圖1，在一個邊長為6cm的正方形中畫一個最大的圓，求這個圓的面積。

改編：如圖2，已知一個正方形的面積為32cm2，在這個正方形中畫一個最大的圓，求圓的面積。

比較與分析：原題考查的是對s=πr2這一公式的機械運用，而改編題則獨辟蹊徑：因為不能直接求得r的長度，所以需要重新對s=πr2這一公式進行審視，從整體上尋找解題策略。

在圖2中作輔助線成圖3，r2（即圖中小正方形的面積）=32÷4=8cm2

所以，圓的面積=π×8≈25.12cm2

實際上，后者的解題過程更具有一般性，并不是一定要知道圓的半徑才能求出面積。有些教師告訴學生“要求面積必須知道半徑”，這樣做既違反了知識的科學性，又束縛了學生的思維。

“挑戰題”例舉：張叔叔用一個體積為12dm3的正方體木塊削成一個最大的圓柱體。求圓柱體的體積。

2.突出“開放性”，體現“深刻性”。

原題：兩根都是2米長的繩子，分別用去 和 米后，哪一根剩下的長一些？

改編：兩根同樣長的繩子，分別用去 和 米，哪一根剩下的長一些？

比較與分析：原題旨在考查學生對分率與具體數量的區分度，答案是唯一的，改編題除了涵蓋原題的考查內容外，更突出了思維的深刻性：答案不唯一。有三種答案：

繩子長度＞1米時，第二根剩下的長；

繩子長度=1米時，兩根繩子剩下的一樣長；

繩子長度＜1米時，第一根剩下的長一些。即假定為 米，則第一根剩下 - × = （米），第二根剩下 - = = （米）。因此， 米＞ 米。

不難發現，減少一個條件之后，答案變得不確定起來，正是這種“不確定”，給學生提供了數學思考的空間，促進了思維的嚴密性與深刻性的發展。

“開放題”例舉：一個等腰三角形，其中兩個角的度數比是2∶1，請算出各個角的度數，再說出各是什么三角形。

3.強化“實踐性”，體現“綜合性”。

原題：下面圖形中的陰影部分是原圖的1/2嗎？

改編：學校有一塊正方形的地，現在想把這塊地面積的 種上花。請你幫助設計一個方案，使花圃面積正好占這塊地的 。

比較與分析：學生設計這一方案，需要一定的綜合技能，這不僅僅是單純數學知識所能解決的。學生饒有興趣地參與了設計活動，把對 的理解融入到了創作活動之中，他們的答案多姿多彩。如：

這樣就加深了對1/2的理解。

“實踐題”例舉：有一個形狀不規則的鐵塊，你能設計一個方案，求出它的體積嗎？

4.關注“延展性”，體現“再生性”。

原題為選擇題：把1根5米長的鐵絲平均截成7段，每段是這根鐵絲的（）。

A.B.C. 米

改編題：把1根5米長的鐵絲平均截成7段，每段是這根鐵絲的（）。

A.B.C. 米

選擇以后，你能否利用原題的相關條件提兩個問題，使它們的答案正好是剩下的兩個備選答案嗎？

比較與分析：改編題充分利用了備選答案這一寶貴資源，在運用中深化理解，在理解中進一步拓展認識。我們說，每一個答案對于某道特定的題來說，能否匹配，決定著答案的正誤，所以為錯誤答案尋找合適的“母體”，是區分、思辨的過程，是對概念、定理等數學新知的最好注解。

“延展題”例舉：“自圓其說”：訂正完錯誤答案，對因理解偏差而形成的錯誤答案，請你為它們配上合適的“原型”，使錯誤答案變為正確。

習題優化處理的技巧很多，在此不再一一列舉。但是，有一個前提是肯定的：那就是需要教師有一雙慧眼，具有對習題資源的發掘意識和加工能力。惟有如此，才能提高教學效率，提高學生的數學素養。

作者單位

江蘇省高郵市天山中心小學

◇責任編輯：曹文◇

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