如何向?qū)W生證明１＝０．９

作為數(shù)學(xué)教師，可能不止一次遇到過(guò)這道題：比較1和0.9的大小。對(duì)于這道題，學(xué)生回答1＞0.9是完全可以理解的，但要說(shuō)1=0.9即1=0.9999……無(wú)論如何，學(xué)生總會(huì)覺(jué)得不對(duì)。我們知道，從科學(xué)角度出發(fā)，本題是用極限知識(shí)來(lái)證明的：

但是，我們面對(duì)的是剛剛學(xué)了循環(huán)小數(shù)的四、五年級(jí)學(xué)生，如何用他們能接受的方法來(lái)證明呢?實(shí)踐中，我探索出如下方法：

方法一：用循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)表示法。因?yàn)?.1=1/9，0.2=2/9，0.3=3/9，0.4=4/9……所以0.9=9/9=1。

方法二：借用橋梁1/3，0.9=0.3×3=1/3×3=1。

方法三：方程法。設(shè)0.9999……=x，則0.09999……=0.1x，x-0.1x=0.9，解得x=1。

方法四：構(gòu)造法。豎式驗(yàn)算可知8.9÷9=0.9，令0.9=x，則(8+x)÷9=x，解得x=1。

方法五：填空法。試填空1-()=0.9。分析會(huì)發(fā)現(xiàn)：括號(hào)里無(wú)論填哪個(gè)大于0的數(shù)都不會(huì)合適，其差都會(huì)比0.9小，因?yàn)槭菬o(wú)限小數(shù)，里面只能填0，所以0.9=1-0=1。

從我的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，用這幾種方法讓學(xué)生認(rèn)識(shí)1=0.9，學(xué)生心悅誠(chéng)服，也樂(lè)于接受，往往能讓學(xué)生留下深刻的印象，也能極大地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。當(dāng)然，不要忘了告訴學(xué)生，有些數(shù)學(xué)形式當(dāng)無(wú)限變化時(shí)就會(huì)出現(xiàn)新的結(jié)果，到了一定的極限就會(huì)發(fā)生根本變化，如解法五所示，這也是給學(xué)生一些極限思想的啟蒙。

上述方法是否妥當(dāng)，敬請(qǐng)各位評(píng)說(shuō)。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。