對一道易錯高考題的分析

2006年高考理科綜合全國卷(Ⅰ)20題：

原題 一位質量為m的運動員從下蹲狀態向上起跳，經Δt時間，身體伸直并剛好離開地面，速度為v。在此過程中，

A．地面對他的沖量為mv+mgΔt，地面對他做的功為1/2mv²

B．地面對他的沖量為mv+mgΔt，地面對他做的功為零

C．地面對他的沖量為mv，地面對他做的功為1/2mv²

D．地面對他的沖量為mv-mgΔt，地面對他做的功為零

一些考生錯選答案A，地面對人做功了嗎?若沒有做功那么人的機械能為何增加?

哪些情況下地對人做功?哪些情況下不做功?我們來看下面的模型。

模型1 如圖1，物體A、B與相連的輕彈簧構成質點組，當彈簧處于壓縮狀態時，AB用一細線相連，剪斷細線，經Δt時間B剛要離開地面，A速度為v。在此過程中：地對質點組做功了嗎?地對質點組沖量多大?

結論很明確，B在力的作用下沒有發生位移，地面對物體B沒有做功，即地面對質點組也沒有做功，地面沒有給質點組提供能量，質點組內彈性勢能轉化為動能和重力勢能。

本問題也可對質點組用動能定理分析：W_內+W_外=ΔEk，設A物體升高h，m_A和m_總分別表示A的質量和質點組總質量。W_內為內力做功，即彈簧彈力做功；W_外力外力做功

-m_Agh，W_內-m_Agh=1/2m_Av²

所以W_內=m_Agh+1/2m_Av²

質點組內彈性勢能轉化為動能和重力勢能。

再對質點組用動量定理：設地對質點組的沖量為IN，取向上為正，有

IN-m_總gΔt=m_Av

當m_A遠大于mB時

m_A≈m_總，有：

IN=m_總gΔt+m_總v

原題分析 由此可知，運動員從下蹲狀態向上起跳可等效為質點組模型，身體等效于A物體，腳等效于B物體，內力做功等效于彈簧彈力做功。地面對運動員作用力的受力點腳在該過程中沒有位移，所以地對運動員沒有做功，地面沒有對人提供能量，起跳過程是人肌肉收縮做功，也就是人的內力做功，從而把人體內的化學能轉化為機械能。地面對他的沖量為mv+mgΔt，答案B。

模型2 質量為m的人站在電梯里和電梯一起從靜止開始勻加速向上運動，位移為h時速度達到v，此過程中底板對人做的功為多少?

人相對電梯靜止，可將人視為質點，對人用動能定理：W-mgh=1/2mv²

即底板對人做的功為W=mgh+1/2mv²

電梯對人提供了能量。

比較原題和模型2可知，人體對自身做功的例子很多，例如跳高、跳遠、跳繩、蹦床、人走路、人上樓梯時等，都是肌肉收縮而對自己做功，地對人不做功，地對人沒有提供能量；而模型2中人體相對于底板未動，沒有對自己做功，電梯對人做功，是電梯對人提供能量使人的機械能增加。

(欄目編輯陳 潔)

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