向量概念與運算在物理中的應用

數學中的向量概念及其運算法則，在物理中有廣泛的應用。把數學與物理溝通，既有利于理解數學，也有利于理解物理。

數學中的向量，定義如下：

向量：把既有大小又有方向的量叫向量。（全日制普通高級中學教科書（必修）《數學》第一冊（下），人民教育出版社，以下簡稱《數學》，第96頁。）

矢量概念在物理學中有著廣泛應用，例如（全日制普通高級中學教科書（必修）《物理》第一冊，人民教育出版社，以下簡稱《物理》第一冊，第13頁）：力既有大小，又有方向，力的合成要遵守平行四邊形定則。在物理學中，象這樣的物理量叫做矢量。而長度、質量、溫度、時間、能量等物理量，只有大小，沒有方向，在物理學中叫做標量。

物理量有許多矢量，如力F、位移s、速度v、加速度a、動量p、電場強度E、磁感應強度B等等。

標量除上述外還有，如功W、功率P、能量E（包括動能與勢能，勢能又包括重力勢能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等）等等。

矢量與標量物理意義不同，比較大小的方法不同，運算法則也不同。矢量的運算法則與數學中的向量相同。

1 向量的加法與減法——力與運動的合成與分解

1.1 向量的加法：

（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法（《數學》第99頁）。

（2）法則：①三角形法則：圖1中的兩個向量，根據向量加法的定義，利用圖2所示得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。

②平行四邊形法則：如圖3以同一點A為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線AC→就是a與b的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。（《數學》第100頁）

1.2 向量的減法：

（1）定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法（《數學》第102頁）。

（2）法則：①三角形法則：a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量（《數學》第102頁）。

②平行四邊形法則：如圖6，平行四邊形ABCD中，AB→=a，AD→=b，知DB→=AB→-AD→=a-b（《數學》第103頁）。

1.3 向量運算在物理中的應用

1.3.1 力的合成

（1）定義：求幾個力的合力叫做力的合成。

（2）平行四邊形法則：實驗表明，如果用表示兩個力F1和F2的線段為鄰邊作平行四邊形，那么合力F的大小和方向就可以用這兩個鄰邊之間的對角線表示出來。這叫做力的平行四邊形定則（《物理》第12頁）。

1.3.2 力的分解

（1）定義：求一個已知力的分力叫做力的分解。

（2）平行四邊形法則：把一個已知力F作為平行四邊形的對角線，那么，與力F共點的平行四邊形的兩個鄰邊，就表示力F的兩個分力。同一個力F可以分解為無數對大小、方向不同的分力。一個已知力究竟該怎樣分解，這要根據實際情況來決定（《物理》第14頁）。

1.3.3 運動的合成與分解

（1）定義：已知分運動求合運動，叫做運動的合成。已知合運動求分運動，叫做運動的分解（《物理》第84頁）。

（2）平拋運動的分解：平拋運動可以分解為水平方向和豎直方向上的兩個分運動。在水平方向（也就是在初速度方向）上物體不受力，物體由于慣性而做勻速直線運動，速度等于平拋物體的初速度。在豎直方向上物體受到重力的作用，并且初速度為零，物體做自由落體運動（《物理》第86頁）。

平拋運動公式：

x=v0t

y=12gt2

vx=v0

vy=gt

vt=v2x+v2y

tanθ=vyvx（θ是vt與x軸（水平方向）的正方向的夾角）（《物理》第86和87頁）。

2 向量的數量積——力的功

2.1 向量的數量積

定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數量｜a｜｜b｜cosθ叫做a與b的數量積，記作a·b，即a·b=｜a｜｜b｜cosθ（《數學》第118頁）。

幾何意義：數量積a·b等于a的長度｜a｜與b在a上的投影｜b｜cosθ的乘積（《數學》第119頁）。

2.2 在物理中的應用

功的定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發生一段位移，這個力就對物體做了功。如圖7所示，W=Fscosα

這就是說，力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夾角的余弦這三者的乘積（《物理》第135頁）。

3 向量的向量積——安培力與洛侖茲力

3.1 實數與向量的積

定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：

（1）｜λ a｜=｜λ｜｜a｜

（2）當 λ>0時，λ a的方向與a的方向相同；當λ<0時，λ a的方向與a的方向相反；當λ=0時，λ a=0。

3.2 向量的向量積

定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把向量c叫做a與b的向量積（或叉乘積），記作a×b，即a×b=c，其中c的大小應為 ｜a｜｜b｜sinθ，c的方向由右手螺旋關系確定。

幾何意義：向量積a×b等于a的長度｜a｜與b在a的法線（垂線）上的投影｜b｜sinθ的乘積。

3.3 在物理中的應用

（1）安培力

定義：磁場對電流的作用力通常稱為安培力。

安培力的大小：實驗表明把一段通電直導線放在磁場里，當導線方向與磁場方向垂直時，電流所受的安培力最大；當導線方向與磁場方向一致時，電流所受的安培力最小，等于零；當導線方向與磁場方向斜交時，電流所受的安培力介于最大值和最小值之間（《物理》第二冊第147頁）。

導線方向與磁場方向垂直時，公式為F=BIL（《物理》第二冊第148頁）

導線方向與磁場方向斜交，夾角為θ時，公式為F=BILsinθ。

安培力的方向：通電直導線所受安培力的方向和磁場方向、電流方向之間的關系，可以用左手定則來判定：伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂直，并且都跟手掌在一個平面內，把手放入磁場中，讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開的四指指向電流的方向，那么，大拇指所指的方向就是通電直導線安培力的方向（《物理》第二冊第149頁）。

（2）洛侖茲力

定義：（電子射線管）實驗表明，在沒有外磁場時，電子束是沿直線前進的。如果把射線管放在蹄形磁鐵的兩極間，熒光屏上顯示的電子束運動的徑跡發生了彎曲。這表明，運動電荷確實受到了磁場的作用力，這個力通常叫做洛侖茲力（《物理》第二冊第151頁）。

洛侖茲力的方向：洛侖茲力的方向也可以用左手定則來判定：伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂直，且處于同一個平面內，把手放入磁場中，讓磁感線垂直穿入手心，四指指向正電荷運動的方向，那么，大拇指所指的方向就是電荷正電荷所受洛侖茲力的方向。運動的負電荷在磁場中所受的洛侖茲力，方向跟正電荷受的力相反（《物理》第二冊第152頁）。

洛侖茲力的大小：當電荷在垂直于磁場的方向上運動時，磁場對運動電荷的洛侖茲力F等于電荷q、速率v、磁感應強度B三者的乘積（《物理》第二冊第152頁）。

如果速度v與磁感應強度B不垂直而是夾角為α，則洛侖茲力的大小公式變為：F=qvBsinα。

由此可知洛侖茲力F是磁感應強度B與速度v和電荷量q的積（q v ）的向量積。可以記作：F=（qv）×B，所以也叫做叉乘積。

在教學中，物理教師若能把數學與物理很好地結合起來講，學生將更能融會貫通，更有利于綜合高考及將來的科學工作。

(欄目編輯陳 潔)

<注>：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文