探討數學教學中的化歸原則與ＲＭＩ方法

[摘要]數學教育與教學包括有兩大部份內容：一是研究數學科學本身的“抽象”理論知識；二是研究數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中發現、發明與創新等法則。本文根據化歸原則與關系映射反演方法（RMI方法）的思維方法，結合于代數、幾何教材內容，強調數學教學必須重視這些“數學方法”的教學。

[關鍵詞]思維方法 化歸原則 關系映射 反演方法

一、前言

有人問：你在大學里最大的收獲是什么？一位年青的航天科學家回答說：“我在大學里的最大收獲是學會如何學習和如何進行研究問題的方法?！睙o庸置疑，大學是年青人學習科學知識的搖籃，在這搖籃中，有人學到一定的科學知識，有些人不僅學到科學知識，而且學會如何去學習科學知識的方法。從教學角度看，后者應為我們所提倡，因為前者只能把先人已經總結出來的知識傳授于學生，隨著科學技術的發展，大量未知的知識需要我們的對象去研究、去發展、去發現，從而教會他們學習科學知識的方法就顯得尤其重要，這應該是教育的真諦?？v觀科學技術發展的歷史，在數學、物理、化學等領域中有重大的成就的數學家、科學家們，一方面除了他們的“天才”之外，另一方面都是他們具有獨到之處的學習和研究問題的方法。因此，從某方面說，一切科學的成就可歸咎為科學家們的方法上的成功。

數學科學是整個科學技術的基礎，它作為一種文化，標志著人類文明的進步，是社會科學技術的路標，發展數學教育與教學無疑是對社會科學技術發展與人類文明的貢獻。數學教育與教學包括有兩大部份內容：一是研究數學科學本身的“抽象”理論知識；二是研究數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中發現、發明與創新等法則。后者是一門實踐性的科學，它對實際性的數學研究和數學教學，能產生積極的影響，應該提出，這直接關系到數學教育的目標。更貼切地說，幫助學生學會數學思維是數學教育的主要目標之一。

二、發揮“數學方法”在教學中的效應作用

正如“數學方法論”一書中所闡述的那樣，數學方法是研究數學的發展規律、數學的思想主法以及數學中發現、發明與創新等法則，它日益在影響著我國數學界，特別是在數學教育界獲得了廣泛的重視和迅速發展，它為我們提高數學教學質量提供了一個有效的工具。眾所周知，數學教學是通過對思想方法的分析來帶動具體的數學知識內容的教學，從而把數學課“講活”、“講懂”和“講深”。其中，所謂“講深”是指教師在數學教學中不僅應當使學生掌握具體的數學知識，而且應幫助學生領會學習研究數學知識內在的思想方法。從這樣的角度去認識，我們必須重視數學方法在教學中的體現，使數學知識通過思維方法予以反映。雖然，我們尚未建立起數學方法論的科學體系，但是在這一方面的不少成果對于我們數學教學工作是具有重大指導意義的。下面就主要的數學方法——化歸原則與關系映射反演方法（RMI方法）談談其在教學中體驗。

關系（Relation）映射（Mapping）反演（Inversion）方法，簡稱RMI方法，是由我國學者徐利治教授于1983年首先提出的，這一思想方法在數學的思維中表示為更一般的便是化歸原則。若把“化歸理解為由未知到已知，由難到易，由復雜到簡單的轉化，那么就是說這一數學思維的重要特點之一是使用“化歸”的方法去解決問題。對于這個問題，匈牙利著名數學家羅莎#8226;波得（Rosza Peter）曾用一個有趣的例子來說明該數學思想方法不同于一般科學家（例如物理學家）的思想方法，事例是這樣的：

有人提出這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應怎樣去做？”對此，某人回答說：“在小壺中灌上水，點燃煤氣灶，再把水壺放到煤氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答。但是追問道：“如果其他條件都沒有變化，只是水壺中已經有了足夠的水，那么你又應當怎樣去做？”這時被提問者往往會很有信心地回答：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”但是這一回答卻未能令提問者感到滿意，因為在提問者看來，更恰當的回答是：“只有物理學家才會這樣做；而數學家則會倒去壺中的水，并聲稱地已經把后一問題化歸成先前的已經得到解決的問題了?！?/p>

這一事例揭示了數學的思維方式是十分典型的，他們往往不是對問題實行正面攻擊，而是把問題變形，直至把它轉化為已經解決或能夠解決的問題，用圖1示表示如下：

縱觀與剖析現行數學學科的教材內容及其知識結構，從其析解問題的思路來看，始終體現著“化歸”這一思維方法。

例1：在平面上證明代沙格定理論證這個問題可用純幾何法和代數法（本例只引用幾何法證明）由于在空間情況的代沙格定理比較容易得證，因而只要把代沙格定理的平面情況化歸為空間情況的代沙格定理，問題就得予解決，整個證明思維可用圖2表示：

在化歸原則的具體應用中，有時遇到復雜問題，其關鍵在于實現由要解決問題向已解決或能夠解決問題的轉化，這時可采取分割方法來實現，其過程可歸結為（圖3）：

例2：變換群與幾何學的研究問題

這個問題首先是由德國數學家克萊因于1872年在埃爾朗根（Erlangen）綱領中提出，他把變換群與幾何學聯系起來，對幾何學加以研究，我們稱之為幾何學的群論觀點，這種觀點是把研究的問題分割為若個小問題逐個研究，最后得出完整的解答（成果），這一研究思維用圖4表示如下：

有些問題在轉化中要借助映射來實現，在數學中，明確的對應關系被稱為映射，在借助映射解決問題的過程中涉及的有關映射在相反方向上兩次應用到。即一方面被用于由原問題去引出問題，另一方面又被用于由相應的解答去引出尋求的解答，后者稱為前者的反演。這一方法我們明確地稱之為關系映射反演方法，利用該方法解決問題的過程可歸結如下（圖5）：

關系映射反演方法是化歸原則的發展，也可以說是方法論上的一次重要進步。該方法中涉及的問題是泛指各種數學對象，甚至可以是數學中的關系結構，如數、量、向量、變數、函數、方程、泛函、函數族、點、線、面、幾何圖形、空間、集合、運算、算子、映射、隨機變數、概率、分布、測度、級數、導數、積分、模糊集合、群、環、域、范疇、代數系統、基數、序數、鄰域、單子、數學模型、濾子等。所涉及的映射與反演是泛指兩類數學對象或兩個數學集合的元素之間建立的一種“對應關系”。如代數中的線性變換、幾何中的仿射變換、射影變換、分析中的變數變換、函數變換、數列變換、積分變換、拓撲學中的拓撲變換等。這樣一來，關系映射反演方法就具有適用范圍廣靈活性好的特點。

例3，利用復數研究幾何問題，可以按照如下開展思維（圖6）：

RMI方法就其思維結構關系來說，不僅在二次型內容中得以體現，而在高等代數的其他章節如線性變換等內容均能清楚反映。

關系映射反演方法作為一種數學思維方法，一方面廣泛地反映于數學的各個領域和不同的分支；另一方面，就應用方法的范圍而言，它不僅可用以解決緒如以上求取某個未知量這類具體問題，而且也可用以解決涉及到理論的整體結構這一具有更高“層次”的問題，甚至還能用以解決問題的否定性解答。這樣一來，不論是作為一種學習數學方法和研究方法，RMI方法是一極佳的思維方法。在數學教學過程應注意體現這一思想方法，讓人們更深地領略數學王國中各部份、各領域的相關關系。我們吶喊：應讓“數學方法”永遠滲透于我們的數學教學過程。

參考文獻：

［1］馬忠林，鄭毓信等.數學方法論［M］.廣西教育出版社，1998.

［2］梅向明，劉增賢等.高等幾何［M］.高等教育出版社，2000.

［3］張禾瑞，郝鈵新等.高等代數［M］.高等教育出版社，2000.

(作者單位：廣東中山市廣播電視大學)