試談幾何命題一題多解能力的培養

能力的培養是數學教學的首要任務之一，而能力的培養又是多方面的。如“一題多解”的能力培養就是其中的一個重要方面，幾何命題的思維與證明能力的培養就顯得更重要了，有關這方面的論述已屢見不鮮。下面，是我聽了九年級一堂幾何復習課的感想和教學實踐的體會。

一、明確幾何命題的“一題多解”對培養和提高學生的推理論證能力的作用

眾所周知，數學中的“一題多解”普遍認為是培養學生能力和開發學生智力的有效途徑之一，對培養學生的發散性思維和創造性思維更見特效，還可以培養學生對學習數學的興趣。

二、教會學生猜測

猜測可導致發現。事實上，解數學問題，人們總是猜測然后加以證明的，換句話說：所有證題者都要猜。為此，教師在平面幾何教學中，特別是在證題過程中不但要教會學生證明，更重要的是教會學生猜測，教會學生思考。要達到這個目的，教師在教學過程中就應創設使學生積極思維、引發猜測的意境，點燃學生主動探索之火。為此，教師在教學中不應立即把自己全部秘密都說出來，而是讓學生去猜，讓學生把各種的想法都說出來，哪怕是不合理的猜測也要鼓勵和引導，不要制止，這樣不僅能調動學生思維的主動性，還可以教會學生這種有益的思維方式。進而開闊了學生的證題思路，培養了學生對問題進行探索、深究的能力。

三、教學程序的實施

（一）教學時間的安排應得當

本文開頭已述，“一題多解”的教學確實有其優點，它不僅使學生開闊視野，培養學生從多條途徑用多種方法去思考問題的能力，而且加強知識的縱向發展和橫向聯系。但教學過程中應注意時間的安排，教學課時所限，不可能每一節課都是“一題多解”的教學。在平常的教學中應著力抓好雙基訓練及定向思維能力的培養，筆者認為，在講授完一章內容后，小結或期末復習開設“一題多解”的專題課較為適宜。

（二）范例的選擇應恰到好處

作為“一題多解”教學的例題，除了應具有一般例題的共性外，還應具有自身的獨特之處：多線索、多頭緒、知識點呈現豐富，靈活多變等特點而且深淺程度要適中。如：

例1：在⊙O中，直徑AC平分∠BAD。求證：AB=AD

例2：已知AB切⊙O于B，A0交⊙O于C，連結BC，

作BD⊥A0于D。求證：∠1=∠2

以上兩題，難度適中，證法各有幾種，不僅對新舊知識起到復習和鞏固的作用，更重要的是對教會學生猜測和思維方式起到一定的作用。

（三）啟導為主，羅列證明方法為次

幾何命題的“一題多解”并不在于證明方法的多少，而在于啟發和引導學生進行思考。

筆者認為這堂幾何課的教學過程是：課前先布置范例1作課外作業，并提出以下問題讓學生思考：（1）證明兩條線段相等的方法有哪些？（2）你又能用多少種方法證明？（3）在你的證法中哪種方法最佳、證法巧妙、簡捷。課堂上緊扣這三個問題進行啟發、觀察、類比。學生基本上是從證兩角相等去猜測，按將兩線段看成一般線段相等和圖中特定線段相等兩個大方向，但方法又各不相同，結果得出下列證明：

①若把“AB=AD”看成一般線段來證，可利用全等三角形和利用中垂線性質進行證明。

方法一：連結OB，OD，利用AAS證明△AOB≌△AOD，即可得AB=AD。

方法二：連結BC，DC，則∠CBA=∠CDA=90°，繼而也是利用AAS證明△ACB≌△ACD即可。

方法三：連結BD，由AC平分∠BAD，得弧BC=弧DC，又AC是直徑，可得AC垂直平分BD（垂徑定理推論），從而AB=AD。

②若把“AB=AD”看成是圓中特設的線段來證，結合圓中有關的性質來分析，不難想象，又可以有以下兩種證法。

方法四：AC是直徑得弧ABC=弧ADC，又AC平分∠BAD即有弧BC=弧DC，從而弧AB=弧AD，于是AB=AD，得證（同圓中，等弧對等弦）。

方法五：作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，由角平分線性質定理可有OE=OF，于是就有AB=AD（同圓中相等的弦心距所對的弦相等）。

通過本題的五種證明方法，將“全等判定”“垂直平分線性質定理”“角平分線性質定理”“圓的有關性質”等內容橫向聯系起來，有效地將各知識點融匯貫通，結連成網，同時又培養了學生數學思想的方法和能力。

而范例2，在教師的引導下讓學生自己去完成，本例是證兩角相等，而判定方法又有幾種，只須抓住“AB是⊙O的切線”，分別從“切線的性質定理”“切線長定理”甚至“弦切角定理”入手，巧添輔助線就可得到幾種不同證法。（下面略舉四例）

證法一：連接BO，由∠1+∠CBO=∠2+∠BCO=90°，只須證∠CBO=∠BCO。

證法二：作EC⊥AO，則∠ECB=∠2，只須證∠ECB=∠1（切線長定理）

證法三：延長AO交⊙O于E，連接BE，則∠1=∠E，只須證∠2=∠E。

證法四：延長BD交⊙O于E，連接CE，由∠1=∠E，只須證∠2=∠E。

這一例題的教學，充分地展示了學生的各種思維過程，通過證“兩角相等”有效地復習了切線的有關性質，使學生對切線性質有了更進一步的明確，提高了學生應用切線性質的能力，同時，也培養了學生的鉆研精神，使學生在思考問題上更具有靈活性、多變性，避免在解題中鉆進死胡同的現象。

幾何命題一題多解的教學，往往能讓學生充分運用學過的知識，從不同角度思考問題，采用多種方法來解決問題，這有利于學生加深理解各部分知識間的縱橫方向的聯系，掌握各部分知識之間的相互轉化，溝通知識之間的內在聯系，有利于提高學生應用所學的知識與技能解決實際問題的能力，是提高學生數學素質的一種良好手段。因此，作為教師，幾何課堂上一定要注重一題多解的教學。

（作者單位：廣東珠海市斗門區第四中等職業學校）