鏡反數及其性質

數學興趣小組組長小明宣布這次活動的主題是“鏡反數及其性質”.

小芳心直口快，搶先發問：“什么是鏡反數？好陌生的一個名字！”

小明笑了笑說：“名字的確有點陌生！我們寫出一個數45，再寫出它的倒寫數54，54就是45的鏡反數，也可以說45是54的鏡反數，45和54互為鏡反數.同樣2007和7002也互為鏡反數.我們一起來探討一下兩位數鏡反數的性質吧！”

小明話音剛落，生性活潑的小婷便急忙說道：“45+54=99，61+16=77，99與77都是11的倍數，我大膽猜想：一個兩位數與它的鏡反數的和是11的倍數.”

小剛表示贊同：“小婷說得對！你們看，38+83=121，121也是11的倍數，121÷11=11=3+8，99÷11=9=4+5，77÷11=7=6+1.因而這個性質還可以說得更完整些：一個兩位數與它的鏡反數的和是11的倍數，而且這個和除以11的商恰好是這個兩位數的個位、十位上數字的和.”

小嚴總愛尋根究底，他說：“從這些具體的例子中歸納出來的規律，是否能普遍適用，我們還必須嚴密地證明.”

小明接著小嚴的話音說道：“我們可以應用去括號和合并同類項的法則來證明.”接著他在黑板上寫了起來：

不妨設有M、N兩個數字，可以組成兩個兩位數MN、NM，顯然，它們互為鏡反數.又MN=M×10+N，NM=N×10+M.而MN+NM=（M×10+N）+（N×10+M）=（M+N）×10+（M+N）=（M+N）×11.

大家都說小明的證明無懈可擊.

小亮說：“大家找到了兩位數鏡反數的性質，并給出了證明，這很好.但不應當就此罷手，有些鏡反數還有一些奇妙的現象.比如互為鏡反數的12與21，它們各自平方后變成144與441，依然保持了互為鏡反數的關系.”

小娜突然搶著說：“13與31也互為鏡反數，它們各自平方后的169與961也保持了互為鏡反數的關系，類似13與31這樣的數我們就稱它們互為平方鏡反數.”

小順也不甘示弱地說：“12與13的乘積也有這種性質，12×13=156，它們的鏡反數的乘積是31×21=651，156與651也互為鏡反數.”

小亮繼續說道：“還有更奇妙的呢，比如11、12各自平方后連寫在一起是121144，而11、12的鏡反數21、11，各自平方后連寫在一起是441121，121144與441121也互為鏡反數.”

美國物理學家亨利說過：“偉大發現的種子經常在我們身邊飄浮，但只在有心人的心中生根.”組長小明在小結中以此與大家共勉.愿同學們做個有心人，學會觀察，學會探索，提高自身的數學素質.

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