溝通角、線段以及圖形面積關系的橋梁——全等三角形

通過全等三角形這一章的學習，我們已經知道全等三角形具有以下性質：①對應角相等，②對應線段相等，③面積相等.因此，我們在探索有關角、線段以及圖形面積的某些數量關系時，可以通過全等三角形這個“橋梁”，溝通它們之間的關系.現舉例說明如下：

例1如圖１，Ｐ是△ＡＢＣ的外角∠ＥＡＣ的平分線ＡＤ上的點（不與Ａ重合），試比較ＰＢ＋ＰＣ與ＡＢ＋ＡＣ的大小關系.

分析：要比較ＰＢ＋ＰＣ與ＡＢ＋ＡＣ的大小，可以試將ＰＢ、ＰＣ、ＡＢ、ＡＣ這四條線段都“轉移”到同一個三角形中，這樣便可運用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個關系.如何“轉移”線段呢？通過全等三角形這座“橋梁”，運用“等線段代換”.為此，在ＡＥ上截取ＡＦ＝ＡＣ，連結ＰＦ，則易知△ＡＰＦ≌△ＡＰＣ，得ＰＦ＝ＰＣ.于是，在△ＰＢＦ中，由ＰＢ＋ＰＦ＞ＢＦ可得出：ＰＢ＋ＰＣ＞ＡＢ＋ＡＣ.

例２（２００６年佳木斯課改實驗區中考試題）如圖２，Ｅ、Ｆ分別是正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ、ＡＤ上的點，且ＣＥ＝ＤＦ，ＡＥ、ＢＦ相交于點Ｏ，下列結論①AE=BF;②AE⊥ＢＦ；③ＡＯ＝ＯＥ；④Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ四邊形ＤＥＯＦ中，錯誤的有（）.

Ａ.１個Ｂ.２個Ｃ.３個Ｄ.４個

分析：由題設條件，易得△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ，于是，通過這個“橋梁”，有（１）ＡE＝ＢＦ；（２）∠１＝∠３，又因為∠１＋∠２＝９０°，所以∠３＋∠２＝９０°，則∠ＡＯＢ＝９０°，即AE⊥ＢＦ；（３）Ｓ△ＡＤＥ≌Ｓ△ＢＡＦ，又因為Ｓ四邊形ＤＥＯＦ＝Ｓ△ＡDE-Ｓ△ＡＯF，Ｓ△ＡＯＢ=Ｓ△ＢAF-Ｓ△ＡＯF，所以Ｓ四邊形DEOF=Ｓ△ＡＯＢ .

由圖形特征，顯然ＡＯ≠ＯＥ.故選Ａ.

例３如圖３，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，直線l經過點Ｃ，且ＡＤ⊥l于Ｄ，ＢＥ⊥l于Ｅ.

（１）觀察圖形，猜想ＤＥ、ＡＤ、ＢＥ之間的關系；

（２）直線l繞點Ｃ旋轉到圖４的位置時，試探索ＤＥ、ＡＤ、ＢＥ之間的數量關系.

分析：（１）由圖形特征，猜想ＤＥ＝ＡＤ＋ＢＥ.事實上，由于∠ＡＣＤ＋∠ＥＣＢ＝９０°，∠ＡＣＤ＋∠ＤＡＣ＝９０°，故∠ＤＡＣ＝∠ＥＣＢ.又因為∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ，ＡＣ＝ＣＢ，所以△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ.于是，通過這個“橋梁”，有ＡＤ＝ＣＥ，ＣＤ＝ＢＥ.因此，ＤＥ＝ＣＤ＋ＣＥ＝ＢＥ＋ＡＤ.

（２）由圖４，同樣可說明△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ，得ＡＤ

＝ＣＥ，ＣＤ＝ＢＥ.故ＤＥ＝ＣＥ－ＣＤ＝ＡＤ－ＢＥ.

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