活用消元巧解題

代入法和加減法是解方程組的兩種基本方法，但不管哪種方法，其基本思想都是消元．同學(xué)們在掌握消元的步驟的同時，還要注意觀察、分析方程組中每個方程的結(jié)構(gòu)特征，靈活運用消元的思想，從不同角度巧妙求解，這樣不僅簡化解題過程，而且有助于對該知識實質(zhì)性的理解和掌握，同時培養(yǎng)了創(chuàng)新能力.

一、整體法

1．整體代入法

例1解方程組２（３x-6015)=3+3y，①3x-6015=2y. ②

分析：把3x-6015看成一個整體，將②代入①即可達到消元的目的．

解：把②代入①，得：4y=3+3y，解得：y=3．

把y=3代入②，得：3x-6015=6，解得：x=2007．

所以原方程組的解是x=2007， y=3.

2．整體加減法

例2解方程組２００５x＋２００６y=2007， ①２００６x＋２００５y=200４. ②

分析：若用常規(guī)加減法或代入法消去x或y，不僅運算量大，并且容易出錯，如果注意觀察方程①、②中x、y的系數(shù)和及常數(shù)和，我們便能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，迅速求出x+y的值，然后再整體代入方程中就容易求解了.

解：由①+②，得：４０１１(x+y)=４０１１，即x+y=1.③

由①，得：2005x+2006y=2005x+2005y+y=2005(x+y)+y=2007，

即2005(x+y)+y=2007．④

把③代入④，得：2005×1+y=2007，解得：y=2．

把y=2代入③，得：x=-1．

所以原方程組的解是x=－１，y=２.

二、引入?yún)?shù)法

所以原方程組的解是x=6，y=8，z=10.

三、連加連減法

例4解方程組２x+y+z＝1３， ①x+2y+z=１，②x+y+2z=2．③

分析：方程①、②、③中，x、y、z的系數(shù)和都是4，并且①、②、③中的x、y、z的系數(shù)有一定的規(guī)律，分別是2、1、1，1、2、1，1、1、2．

解：由①+②+③，得4x+4y+4z=16，即x+y+z=4.④

由①-④，得：x=9；由②-④，得：y=-3；由③-④，得：z=-2.

所以原方程組的解是x=9，y=-3，z=-2.

四、輪換相加法

例5解方程組x+y-z＝11， ①y+z-x=5，②z+x-y=１．③

分析：常規(guī)解法是把三元一次方程組消元，但只要稍加觀察就不難發(fā)現(xiàn)此方程組中的x、y、z是輪換對稱的，不妨采用下面的方法求解．

解：由①+②，得：2y=16，即y=8.

由①+③，得：2x=12，即x=6．

由②+③，得：2z=6，即z=3．

所以原方程組的解是x=6，y=8，z=3.

五、類比法

例6如果關(guān)于x、y的二元一次方程組３x－ay＝16，2x+by＝15的解是x＝７，y＝1，那么關(guān)于x、y的方程組３（x+y）-a（x－y）＝16，2（x+y）＋b（x－y）＝15的解是．

解析：若按照常規(guī)解法，先求出a、b的值，再代入第二個方程組，也可以求解；但認真觀察，比較題目中給出的兩個方程組，不難發(fā)現(xiàn)其中的巧妙之處：x→x+y，y→x-y.由第一個方程組給出的解x＝７，y＝1，可得x+y＝７，x－y＝1.解此方程組得x＝４，y＝３.這樣求解更簡捷，且運算量小.

六、拼湊法

例7已知方程組2007x+2008y＝6022，2008x+2007y＝6023，則xy= .

解析：原方程組可變形為2007x+2008y＝2007×2+2008×1，2008x+2007y＝2008×2+2007×1，從而易得x＝2，y＝1.

故xy=2.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。