例談數學試題的優化

教師不僅要有先進的教育思想、教育理念和一流的教學能力，而且應當具有科學正確的評價學生的本領。我們要重視改進考試命題的方法，提高考試評價的科學性。

一、 改題型

例1原題我們已經知道：2個10相乘可以記作10²，3個10相乘可以記作10³。按照這樣的方法，10⁵的結果應該是（ ）。（填空題）

修改：改為選擇題，選項為：①1000②10000③100000

說明：原題設計新穎，以學生熟悉的數學知識為條件，問題對學生來說卻是陌生的，需要學生依據舊知識總結出“規律”再解決新問題，但作為填空題難度較大。考慮到試題涉及到的數學知識的抽象性和試題本身的新穎性，不妨把其改為選擇題，讓學生運用估算、排除法等更多策略解決此題，力爭達到試題的新穎性和難度性的科學平衡。

二、 改順序

例2原題用3/8、1/8、3/5、和（）可以組成一個比例。括號里的數是（）。

修改：用3/8、3/5、1/8、和（）可以組成一個比例。括號里的數是（）。

例3原題修路隊要修建一條4.8千米的公路，計劃要用15天修完。實際每天比計劃多修0.08千米，實際多少天就完成了任務？

修改：修路隊要修建一條4.8千米的公路，實際每天比計劃多修0.08千米。如果已知計劃要用15天修完，那么實際多少天就完成了任務？

說明：現實生活中的信息和數學問題常以一種散亂的形式進入我們的視野。例2原題一般可以根據比例的意義和基本性質來解答。但更多學生順著題目“讀”過去，易發現3/8和1/8是3倍的關系，很快能得到答案為1/5或9/5，顯然，這并非原題設計意圖之所在。將數據打亂后，則需要學生利用慧眼通讀全題，分析后才能發現3/8和1/8是倍數關系，這也有助于學生利用更多的方法解決此題。例3一改傳統的條件呈現順序，打破學生“經驗型思考法”，需要學生對信息進行重新整理，從而促成問題的解決。無論是改變數據順序，還是改變條件順序，有時我們還可以改變問題的呈現順序，都能提高學生解決問題的思維含量，真正考核對知識的掌握和運用技能。

三、 改數據

例4原題如右圖，如果正方形的面積是16平方厘米，那么圓的面積是（）平方厘米。

修改：把原題中的“16”改為“15”。

例5原題打印一份稿件，甲單獨打印需要20分鐘完成，乙單獨打印需要30分鐘完成。兩人合作需要多少分鐘完成？

修改：打印一份稿件，甲單獨打印需要1/4小時完成，乙單獨打印需要1/2小時完成。兩人合作需要多少小時完成？

例6原題規定：ａ△ｂ＝ａ×（ｂ＋2），則5△2＝5×（2＋2）＝20。同理可得，3△8等于（）。①24②30③12④50

修改：把5△2＝5×（2＋2）＝20改為5△4＝5×（4＋2）＝30。

說明：有人說，數學題好編，只要變化一下數據，新題目就誕生了。說得不無道理，但卻只是表面。例4數據變化后，學生會產生“不好算”的感覺，促使他們尋找其他的解題策略，漸漸發現：原來，求圓的面積不一定需要直接知道圓的半徑。這樣有效矯正學生對圓的面積公式的機械理解，考察學生思維的靈活性和獨創性。例5原為一道典型題——工程問題應用題。在經過一定量的練習之后，學生形成了較為穩固的解題模式，解法即為1÷（1/a＋1/b），其實部分學生并未理解其本質：工作效率是工作時間的倒數。他們只是記住了解法的結構。修改后的題則能更為有效地檢驗學生對工程問題的理解，引領學生不要套用公式，而要仔細分析，靈活解題。例6原題這種“新運算”的題在以前是作競賽之用的，作為一道水平測試題，雖然新穎，但難度太大。等式“5△2＝5×（2＋2）＝20”里括號中的兩個“2”意義并不相同，不妨把其改為“5△4＝5×（4＋2）＝30”，排除不必要的干擾因素，讓學生更快地理解新運算的規則，繼而解決問題。

四、 改情境

例7原題甲、乙兩隊合修一段公路，甲隊單獨修15天完成，乙隊單獨修10天完成。兩隊合修多少天完成？

修改1：整理一批圖書，張明一個人整理要6小時，李華一個人整理要8小時。如果兩人一起整理，需要多少時間？

修改2：一批布，全部做上裝可做15件，全部做褲子可做10條。如果成套加工，可以做多少套？

說明：傳統的工程問題應用題的情境一般是“修路、做零件、水池進出水、打印稿件”等，學生練習的也大都是此類題。生活中的“工程問題”其實有很多，例如加工服裝、整理圖書、喝水等。學生對題目的熟悉程度會直接影響他們的思考空間，聯系多彩生活，我們可以設計情境更為豐富的試題。例7的情境修改后，加上對“單獨、合”等關鍵字詞的修改，問題的思考含量明顯提高，對學生來說是一次全新的挑戰。

五、 改人文

例8原題6和15的最小公倍數是（），把它分解質因數是（）。

修改：6和15的最小公倍數是（）；把20分解質因數是（）。

說明：近年來，命題體現人文性是個熱點。例如將試卷版面設計得“趣味盎然”，或將傳統的“填空題、判斷題、選擇題”名稱改為“認真審題，準確填空；反復比較，慎重選擇；仔細推敲，認真辨析”等親切型導語，又或是在試卷中加入一些激勵性的提示語。筆者認為，這樣的關懷有利于學生調整好良好的考試心態，增強學生考好的信心，但似乎還不夠，只是停留在表面。例8原題兩小題前后關聯，答案一錯懼錯。修改后，試題的獨立性更強，從源頭處為學生考慮，這是另一種形式的人文關懷。

六、 改形式

例9原題姐弟兩人共有郵票140張，已知弟弟的郵票張數是姐姐的2/3。求兩人各有郵票多少張？

修改：下面是姐弟兩人的對話：

姐姐：“我和你一共有140張郵票。”

弟弟：“我的郵票張數是你的2/3。”

請你算一算，姐姐、弟弟各有郵票多少張？

例10原題五岳名山的海拔分別如下：東岳泰山1545米，西岳華山2160米，南岳衡山1290米，北岳恒山2017米，中岳嵩山1440米。五岳名山的平均海拔是多少米？

修改：五岳名山的海拔如下表：

五岳名山的平均海拔是多少米？

例11原題蝸牛5分鐘爬行了41厘米。照這一速度，它爬行61.5厘米要多少分鐘？

修改：

說明：現實生活中許多問題的呈現形式本身就很多樣，應用題的表述方式不應只是“純文字化”的，還可以用表格、圖畫、對話、情境、資料等形式，把對數學知識或數學技能的檢測建立在有趣、生動、新穎的形式之上。立足原題設計意圖，三個例題修改后，呈現形式多樣化，加上卡通人物，學生讀來親切舒暢，不致使他們陷入對問題的僵化理解，更能激發他們的思考，使學生感到解題也是有趣的。

七、 改開放

例12原題下圖中大正方形的面積是“1”，用分數表示圖中的陰影部分是（）。

修改：上圖中大正方形的面積是“1”，請畫出它的1/3，并用彩色筆把這部分涂上陰影。

例13原題24/()＝（ ）÷6＝1/4＝（）％

修改：刪除條件中的“＝1/4”。

例14原題一個長方體積木，如下圖，長6分米，寬5分米，高4分米，把它分成兩個長方體，表面積最少增加（ ）平方分米。

修改：把問題中的“最少”去掉。

說明：“保留原題中的基本情境和一些現成構件，并根據形式邏輯的理論進行適當的加工改造”，我們將封閉題改成了開放題。例12采用了“逆向思維法”進行編制，修改后的題目答案不惟一，讓學生在一些畫一畫中增長智慧。例13和例14分別刪除“＝1/4”和“最少”這兩個關鍵性的題目構件，為學生提供了更大的思考空間，學生解決問題的視角大大地擴展。數學開放題使學生在解題過程中形成積極探索和力求創造的心理態勢，為培養他們的創新精神提供了廣闊的馳騁天地，使不同層次的學生獲得不同的發展。

八、 改新穎

例15原題天安門廣場上的國旗長495厘米，寬330厘米，長和寬的最簡整數比是（）。

修改：根據我國《國旗法》規定：國旗的長與寬的比為3∶2。以下選項中，（）規格的國旗不符合標準。（ｃｍ表示厘米）

①495ｃｍ×330ｃｍ②96ｃｍ×60ｃｍ③240ｃｍ×160ｃｍ

例16原題 計算：24×2/5＋76×2/5，6.4＋0.45＋3.6＋0.55等。

修改：從3.6、、12、8、0.55中選擇合適的數填在各題的括號中，使每道題都能用簡便方法計算。（每個數只能用一次）

24×2/5+76×（ ）6.4+0.45+（ ）+（ ）

（5/12+1/4-1/3）×（ ）0.25×1.25×（ ）

說明：追求新穎一直是我們編制試題的基本原則之一。例15原題注重一種技能的演練，而修改后，學生的“問題解決是在新的情境下的數學思維”，學生認清問題后，通過分析領悟到符合標準的其實是長與寬的比為3：2，不僅獲得了豁然開朗的感覺，還了解了一個關于國旗的課外知識。例16同樣是考查學生對相關運算定律的理解，修改后，形式新穎，改“簡便計算”為“合適填數”，避免了單一地去考查學生對規律的機械記憶，效果較好。

友情提醒：

每道題都有其特殊的考核功能，一經修改后，試題的難度就會隨之上下浮動，考試的效度和信度也會受到影響。為此，教師必須整體把握好“度”，例如情境不要太豐富，新穎題不要太多等。教師要明確原有試題的編制意圖，修改時要凸顯基礎性，控制試題難度，全局把握整個試卷的均衡性。

責任編輯：李海燕