“平方差公式”的變形與應(yīng)用

平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²是七年級(jí)有理數(shù)運(yùn)算中一個(gè)重要的乘法公式，也是同學(xué)們解題時(shí)常出錯(cuò)的難點(diǎn).在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，若能根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征（即有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積是相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方的差），選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ`活應(yīng)用公式，可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果.

一、找準(zhǔn)a，b，正確套用

例1計(jì)算(-3x-5)(3x-5).

分析：兩個(gè)因式中-5是相同項(xiàng)，3x是相反項(xiàng).即-5相當(dāng)于公式中的a，3x相當(dāng)于公式中的b.

解：(-3x-5)(3x-5)=（-5）²-（3x）²

=25-9x².

二、改變系數(shù)，靈活套用

例2計(jì)算（2a+4b)(a-2b).

分析：觀察題目的特點(diǎn)，將（2a+4b)提取系數(shù)2后，得2（a+2b），再觀察可直接套用公式.

解：（2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)

=2(a²-4b²)

=2a²-8b².

三、巧妙組合，分組應(yīng)用

例3計(jì)算（a-b+c-d)(a+b-c-d).

分析：兩個(gè)因式中的a，d前邊的符號(hào)分別相同，而b，c前邊的符號(hào)分別相反，所以可進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓儆闷椒讲罟浇鉀Q.

解：（a-b+c-d)(a+b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]

=(a-d)²-(b-c)²

=a²-2ad+d²-b²+2bc-c².

例4計(jì)算（x-y)(x²+y²)(x+y)(x⁴+y⁴).

分析：觀察本題特點(diǎn)，可調(diào)整順序連續(xù)使用平方差公式.

解：（x-y)(x²+y²)(x+y)(x⁴+y⁴)

=(x-y)(x+y)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x²-y²)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x⁴-y⁴)(x⁴+y⁴)

=(x⁴)²-(y⁴)²

=x⁸-y⁸.

四、因題而異，逆向使用

例5計(jì)算（x+2y-3z)²-(x-2y+3z)².

分析：觀察題目特點(diǎn)，可逆用公式.

解：（x+2y-3z)²-(x-2y+3z)²

=[(x+2y-3z)+(x-2y+3z)][(x+2y-3z)-(x-2y+3z)]

=[x+2y-3z+x-2y+3z][x+2y-3z-x+2y-3z]

=2x(4y-6z)

=8xy-12xz.

五、拆項(xiàng)變形，重組使用

例6計(jì)算（a-b+1)(a+b-3).

分析：觀察式子的特點(diǎn)，可以將兩個(gè)多項(xiàng)式拆成兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的形式，然后利用平方差公式計(jì)算.

解：（a-b+1)(a+b-3)

=(a-b+2-1)(a+b-2-1)

=[(a-1)-(b-2)][(a-1)+(b-2)]

=(a-1)2-(b-2)²

=a²-2a+1-b²+4b-4

=a²-2a-b²+4b-3.