分解因式的思路

分解因式是初中數學中重要的恒等變形之一，也是學習分式和一元二次方程的基礎.為幫助同學們學好這一部分內容，本文介紹分解因式的幾種思路，供參考.

一、基本步驟

（一）“提”

“提”即提公因式法.提公因式法是分解因式的一個最基本的方法，無論多項式的形式如何，只要各項有公因式，應首先將其提出來.

例1分解因式：-4x²+6xy-10xz.

解：原式=-(4x²-6xy+10xz)

=-2x(2x-3y+5z).

例2分解因式：a(x-y)-b(y-x)+c(x-y).

解：原式=a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)

=(x-y)(a+b+c).

（二）“看”

“看”即看多項式有幾項.

（1）若多項式是二項式，則考慮用平方差公式.

例3分解因式：a³-a.

解：原式=a(a²-1)

=a(a+1)(a-1).

例4分解因式：81(a-b)²-16(a+b)².

解：原式=[9（a-b)]²-[4(a+b)]²

=[9(a-b)+4(a+b)][9(a-b)-4(a+b)]

=(13a-5b)(5a-13b).

（2）若多項式是三項式，則考慮用完全平方公式或十字相乘法.

例5分解因式：4a³-4a²+a.

解：原式=a(4a²-4a+1)

=a(2a-1)².

例6分解因式：2x²-5x+3.

解：原式=(x-1)(2x-3).

(3)若多項式有四項以上（包括四項），則考慮用分組分解法.

這種方法不是一種獨立的分解因式的方法，而是為提公因式法或公式法的運用創造條件，即先把多項式各項適當分組，以達到能提公因式或運用公式分解因式的目的.

例7將ab-a+b-1因式分解，其結果是.

解：原式=(ab-a)+(b-1)

=a(b-1)+(b-1)

=(b-1)(a+1).

例8分解因式：x²+2xy+y²-4.

解：原式=（x²+2xy+y²)-4

=(x+y)²-2²

=(x+y+2)(x+y-2).

(三）“查”

“查”即檢查結果中每個因式是否分解到不能再分解了.

例9指出下列分解因式中的錯誤，并予以改正.

分解因式：81x⁴-18x²+1.

解：原式=（9x²)²-2#8226;9x²+1

=(9x²-1)².

析解：本題的錯誤之處是（9x2-1)分解不徹底，改正如下：

原式=（9x²)²-2#8226;9x²+1

=(9x²-1)²

=(3x+1)²(3x-1)².

二、其它特殊方法

對較復雜的多項式要進行分解因式，同學們不妨嘗試下列幾種特殊的方法.

1.展合法

例10分解因式：m³(m-2n)+n³(2m-n).

解：原式=m⁴-2m³n+2mn³-n⁴

=m⁴-n⁴-2mn(m²-n²)

=(m²+n²)(m²-n²)-2mn(m²-n²)

=(m²-n²)(m²+n²-2mn)

=(m+n)(m-n)(m-n)²

=(m+n)(m-n)³.

2.拆項法

例11分解因式：x⁴+x³+4x²+3x+3.

解：原式=x⁴+x³+x²+3x²+3x+3

=(x⁴+x³+x²)+(3x²+3x+3)

=x²(x²+x+1)+3(x²+x+1)

=(x²+x+1)(x²+3).

3.添項法

例12 分解因式：x⁴+x²y²+y⁴.

解：原式=x⁴+2x²y²+y⁴-x²y²

=(x²+y²)²-(xy)²

=(x²+y²+xy)(x²+y²-xy).