試論由判別式推導曲線族的包絡

數學問題是系統的、嚴密的，這個問題也不例外。我們知道，這圓方程表示的是一系列曲線，即一族曲線，因而涉及到曲線族和曲線族包絡的概念。

一般地，我們用含有參數m的二元方程F（x，y，m）=0表示的動圓形的方程。當m取一定值時，所得方程就表示一條曲線；當參數m取無數個值時，對應無數個方程表示無數條曲線。我們稱這些方程叫做適合某條件的曲線族方程，方程表示的所有曲線的集合叫做適合此條件的曲線族。

對于給定的平面曲線族，任意一條曲線CM與另一曲線M相切，并且在曲線M上的任一點P上，一定有曲線族中的一條曲線與曲線M相切，那么我們把曲線M定義為曲線族的包絡，P點定義為曲線族中曲線CM的特征點。從定義可知，曲線族曲線CM的特征點是這曲線族中兩條無限趨近的曲線的極限交點。

解方程組：

兩式一相減，所得結果兩邊同除以△m，然后使△m→0，即m+△m→m，這是根據“曲線族的特征點是這曲線族中兩條無限趨近的曲線的極限交點”這一基本理論而得到的，也就讓m和m+△m確定的兩條曲線無限趨近，得到m確定的曲線的特征點，用判別式△解的本質也正是這一點，從議程的觀點來看，不論曲線的特征點在什么位置，都只有一個與它對應有什么樣的參數值m；反之，一個參數值m也只能使曲線有與它對應的一定的特征點，也就是說什么樣的參數值決定了什么樣的特征點，什么樣的特征點對應有什么樣的參數值m，那么，所有特征點用參數m表示的坐標，也構成了包絡的參數方程，這樣，△的解法就顯得言之成理，名正言順了。

此定理的作用也就是判別方程有無重根，與△判別式的作用相同，意義也相同，因此，我們已不難看出導數與判別式的關系了，這里用△m=0來求包絡方程的奧秘在于此，（x，y）與m的對應關系正相當于重根，特別是在二次曲線族方程中。

很清楚，把方程中變量x換成m；a、b、c或p、q系數換成x，y的函數式，不就是曲線方程了嗎？由△m=0，就可求出包絡方程。

現在還需說明用判別式得出的方程，要除去

由議程組確定的曲線方程，這組曲線

叫奇異點曲線，不是包絡，我們一般地可借助圖形來檢驗舍棄，其中道理則超出本文范圍。

所以，我們總結出如下定理：

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