巧用“假設法”解題例舉

假設法，就是根據題目中的已知條件或結論作出某種假設，把復雜問題化為簡單問題處理。它是一種重要的數學思維方法，在解答數學問題時有著廣泛的應用。一些數量關系比較隱蔽的應用題，用常規方法思考往往很難解答，然而巧用假設法卻常能使隱蔽復雜的數量關系明朗化、簡單化，從而迅速找到解題的思路。同時，由于假設的策略不同，因而解題思路各異。

一、求同存異

例1 學校食堂上午買來2袋面粉和5袋大米共550千克，下午買來3袋面粉和4袋大米共重510千克。每袋面粉、每袋大米各重多少千克?

本題難在上午、下午買面粉和大米的袋數都不相同，用假設法可促使面粉袋數相同，大米袋數相異，從兩個差(大米袋數的差和總重量的差)來尋求問題的答案。為了說明問題，列表如下：

經過以上處理，面粉袋數由原來的不同變為相同，從大米袋數、總重量的兩個差可以求出每袋大米的重量。從表中可知，7袋大米重630千克，即每袋大米的重量為630÷7=90(千克)，每袋面粉的重量為(550-90×5)÷2=50(千克)。

二、虛實并舉

例2 甲、乙兩人七月份共生產零件1000個。甲八月份比七月份增產25％，而乙增產20％，兩人共生產零件1224個，甲、乙八月份各生產多少個零件？

這道題沒有給出甲、乙七月份各生產零件的個數，學生會感到“山重水復疑無路”，運用假設就可“柳暗花明又一村”。假設兩人八月份都增產25％(甲為實，乙為虛)。則八月份共應生產1000×(1+25％)=1250(個)零件，比實際多生產1250-1224=26(個)零件，這正好相當于乙月份生產零件數的(25％-20％)。于是，可求得乙八月份生產零件為26÷(25％－20％)=520(個)，甲八月份生產的零件數也就可以求出。當然也可假設兩人八月份都增加20％(甲為虛，乙為實)，解法略。

三、引實避虛

例3小張每天讀書的頁數比小劉多1/4，有一本書小張8天讀完。小劉幾天可以讀完？

就此題而言，學生在未學比例知識之前，要弄清在一本書總頁數一定時，每天讀頁數和所需天數之間的關系有一定難度。況且題中又未給出小張(或小劉)每天讀出的頁數，這就更增加了解題難度。這時就可采用引實避虛的方法，假設小劉每天讀書的頁數已知，如“小劉每天讀書12頁”，可求出小張每天讀書12×(1+1/4)=15(頁)。小張8天讀完一本書，小劉只需要15×8÷12=10(天)讀完。

四、數形雙飛

例4 一個長方形的周長是36米，如果它的長和寬各增加2米，面積增加多少平方米？

從“長方形周長是36米”這一條件，學生容易求得長、寬之和為36÷2=18(米)。但題中未給出長和寬之間的關系，學生不知從何下手。這時，可引導學生根據長方形長、寬之和為18米這一條件，長、寬的具體數據完全可以假設，如長10米、寬8米，再結合圖形就可使題目順利獲解。

也可假設將B剪下，接在C的后面，如圖(2)。不難發現ABC組成一個長方形，這個長方形的長是原長方形的長寬之和18米加上2米即20米，因此面積增加20×2=40(平方米)。

例5 已知正方形面積為8平方厘米，求正方形內圓的面積是多少平方厘米?

學生無法根據所學的知識求出正方形的邊長(也就是圓的直徑)，可先假設正方形面積為1，根據假設可以求出圓的面積為(1÷2)²×π＝π/4，然后根據已知正方形面積與假設正方形面積的倍數關系，求出正方形內圓的面積為π/4×8=2π≈6．28(平方厘米)。

五、殊途同歸

例6 有甲、乙兩人，甲開客車每小時行80千米。乙開卡車每小時行72千米。今兩人同行某一段路程，乙比甲多行4小時，這段路長多少千米?

(1)可假設甲到達目的地時兩人同時停止前進，這時乙距目的地(即甲比乙多行)72×4=288(千米)，除以兩人速度差，可得甲行這段路程所需的時間為288÷(80-72)=36(小時)，所以這段路程長為80×36=2880(千米)。

(2)也可假設乙到目的地時兩人同時停止前進。這時甲超過目的地，即乙比甲少行80×4=320(千米)，除以兩人的速度差，可得乙行這段路程所需的時間，然后再算出這段路程的長度。

六、突破封鎖

例7 有兩個長方形，第一個長方形長是5厘米，第二個長方形長是4厘米，它們面積之和是42平方厘米。如果不改變每個長方形的寬，把第一個長方形的長擴大2倍，把第二個長方形的長增加1厘米，那么兩個新長方形的面積之和比原來的大33平方厘米。求原來長方形的寬是多少?

乍看這道題似乎很難找到解題的突破口，根據題意，可這樣考慮：因為兩個長方形的寬都沒有變，可假設兩個長方形的長都擴大2倍，那么面積也擴大2倍，即面積增加42平方厘米，但實際只增加33平方厘米。是什么原因呢?觀察發現第二個長方形的長不是擴大2倍，而是增加1厘米，即第二個長方形的長增加1厘米比擴大2倍增加的面積要少42-33=9(平方厘米)。也就是說第二個長方形的長(1)×寬比長(4)×寬要少9平方厘米，即4寬－1寬=9，寬=3(厘米)。這樣，第二個長方形的寬獲解，由此可求出第一個長方形的寬是6厘米。

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