用導數巧解物理題
2006-12-31 00:00:00章維輝
物理教學探討 2006年21期
我們在研究和解決物理問題中，總離不開數學這個工具，而且處理的問題愈高深應用的數學知識也愈多。在總復習中若能引導學生用導數來解決物理問題，不僅解題速度快，而且能深化相關學科知識，可取得事半功倍的教學效果。
1利用導數再定義速度和加速度：速度是位移對時間的導數；加速度是速度對時間的導數，也即位移對時間的二階導數。
例1物體做勻速直線運動，位移s＝10t＋5t2，求：（1）t=20s時物體的速度；（2）物體的加速度。
解（1）v=s′=（10t＋5t2）′=10＋10t。
當t=20s時，v=210m/s。
（2）a=v′=（10t＋5t）′=10m/s2。
例2如圖1所示，點光源S發出的光通過光屏AB上的孔Q射到平面鏡M上，光屏與平面鏡的初始位置平行，光線SO方向與平面鏡初始位置垂直，且OQ=d。當平面鏡繞過O點的轉軸以角速度ω逆時針轉過30°角時，求光線SO經平面鏡反射在光屏AB上的光點P沿AB移動的即時速度。
解法一平面鏡轉過30°時，反射光線轉過60°，即θ=60°，所以，OP＝d/cos60°＝2d，此時光線在AB屏上入射點繞O點轉動的線速度v1=OP·2ω=4ωd，由速度分解（如圖所示），光點P沿AB運動的速度v=v1/cos60°=2v1=8ωd。
解法二在時間t內，平面鏡轉過ωt，而反射光線轉過2ωt，即θ=2ωt，
AB=d·tan(2ωt)。
光點P沿AB運動的速度，求導有
v=AB′=2ω dsec2(2ωt)。
當ω t=30°時，v=8ωd。
比較以上解法，用導數解題簡便快捷，學生也容易理解、接受。
2利用導數表示法拉第電磁感應定律。
法拉第電磁感應定律：在電磁感應現象中產生的感應電動勢大小，跟穿過這一回路的磁通量的變化率成正比，用公式表示為E=nΔφΔt，若利用導數，又可以表示為E=nφ′。
例3（2003年福建省質檢）如圖2所示，足夠長的兩光滑導軌水平放置，兩條導軌相距為d，左端MN用阻值不計的導線相連，金屬棒ab可在導軌上滑動，導軌單位長度的電阻為r0，金屬棒ab的電阻不計。整個裝置處于豎直向下的均勻磁場中，磁場的磁感應強度隨時間均勻增加，B=kt，其中k為常數。金屬棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿導軌向右做勻速運動，t=0時，金屬棒ab與MN相距非常近。求當t=t0時，水平外力的大小F。
原解回路中的磁場變化和導體切割磁感線都產生感應電動勢，E總=ΔBΔtS＋Bdv。
ΔBΔtS=kt0t0dvt0=kdvt0。
I=E總R，B=kt0，R=2r0vt0。
所以I=kdr0 ，即F=BId=k2d2t0r0。
總電動勢有兩項，學生對此存在疑惑。若利用感應電動勢的導數形式，則E=φ′=（BS）′，由于B、S都是關于時間的函數，則E=（BS）′=B′S＋BS′=kdvt0＋kt0·dv=2kdvt0。這樣能消除學生的疑惑，更容易接受。
3利用導數求極值
利用導數求極值在數學中經常遇到，然而在求物理問題中的最大（小）值問題，很多學生很難想到用數學方法，故教師應引導學生將物理與數學聯系起來，培養學生思維的遷移。
例4如圖，一艘漁艇停泊在距岸9km的A處，今需派人送信給距漁艇334km的C處海岸漁站，如果送信人步行速度為5km/h，船速為4km/h，問應在何處登岸再步行可以使抵達漁站的時間最省？
解設D海岸線上的登岸位置，CD=s，
BC=AC2-AB2=15km，
AD=AB2-BD2=81+(15-s)2。
由A到C所需的時間t=tAD＋tDC=81+(15-s)24+s5（0≤s≤15km）。
t對s求導t′=-15-s481+(15-s)2＋ 15。
令t′=0，解得s=3km。
在s=3km附近，t′由負到正，故在s=3km處取得最小值。
又因為在C點登岸時間t=3344s，在B點登岸t=214s，在CD=3km處登岸t=8720s。
比較可知，在距漁站3km處登岸可使抵達漁站的時間最省。
(欄目編輯黃懋恩)
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