習題變式中常出現(xiàn)的錯誤

在現(xiàn)階段的中學數(shù)學教學中，許多教師為了能更好地訓練學生的思維能力，合理利用教學資源，科學設置問題等目的，都會對教材上的例題和練習題進行適當?shù)母木帲簿褪橇曨}變式．這樣不僅能豐富教學資源，提高教學質(zhì)量，同時也有利于教師的自身成長，是一舉兩得的好做法．但是因為一些主觀或客觀的原因?qū)е滤幹瞥鰜淼牧曨}在某些方面有缺陷，不能很好地應用于教學活動中，甚至有一些問題是錯誤的，根本不能使用本文將對數(shù)學命題存在的誤區(qū)進行粗略探討，以期拋磚引玉，希望能對數(shù)學教師編制習題提供一些借鑒．

一、變式中的條件出現(xiàn)問題

1．條件不充分或過剩

例1：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADC交AB于E，連結(jié)CE，求證：CE平分∠DCB．

根據(jù)題目中現(xiàn)有的條件無法證明CE平分∠DCB．只要在條件中添加CD=AD+BC即可．

例2：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD=AD+BC，E是AB的中點，DE平分∠ADC交AB于E，連結(jié)CE，求證：CE平分∠DCB．

辨析：題目的條件中“CD=AD+BC”和“E是AB的中點”有其中一個即可，原題的條件過剩．

2．件錯誤，自相矛盾

例3：一個長方體的主對角線長為8，三棱長之和為14，求它的全面積．

誤解：設長方體的一個頂點上的三條棱長為x，y，z，

二、變式中的結(jié)論出現(xiàn)問題

1．結(jié)論與條件相悖

例4：直線的一條內(nèi)角平分線，點A(1，2)，B(－1，1)是兩個頂點，求頂點C的坐標．

解：點A(1，2)，B(-1，1)不滿足2x+y-1=0，所以直線2x+y-1=0，是∠ACB的平分線，設A(1，2)關(guān)于直線2x+y-1=0的對稱點是A’(a，b)，則A’在直線BC上．求得A’(－7/5，4/5)，直線BC的方程為x-2y+3=0．

辨析：上述解法沒有錯誤，但求得的直線BC的方程x+2y-3=0剛好與∠ACB的平分線2x+y-1=0互相垂直，即此時A，D，C三點共線，這與題設ABC相矛盾．修正方法：調(diào)整A點(或B點)的坐標或改∠ACB的平分線的方程．

2．結(jié)論是錯誤的或不能由條件得出

例5：已知△ABC，中AD是BC邊的中線，E是AD中點，連結(jié)BE并延長交AC于F．求證：AE：EC=1：3．

辨析：作DG∥BE交AC于G，可證得EG=GC，AE=EG；即AE=EG=GC，可得AE：EC：1：2，原題給出的結(jié)論是錯的．

三、忽視隱含的內(nèi)容

例6：如圖，已知正方形ABCD中，AB=4，P是BC上的一點，若△ABP～△PCD，求BP：PC．

辨析：設BP=x，若△ABP～△PCD，則AB：CP：BP：CD，即4：(4－x)＝x：4，x²-4x+16=0，△=b²-4ac=16-64<0，此方程無實根．這道題是無法求解的，因為出題人沒有考慮到該題的特殊情況，△ABP～△PCD是不成立的，可改為△ABP～△DCP．

四、變式中出現(xiàn)錯誤

1．賦值不當

得出結(jié)果，但對于原有的式子中的分母而言，x=1使分母為零，分式無意義。可將x的取值改為x=4等其他使分母不為零的值。

2．選擇值編擬不當

例8：△ABC的三個內(nèi)角A，B，C．若cosA>sinB，則∠C是( )．

(A)銳角 (B)直角 (C)鈍角

(D)銳角，直角，鈍角，都有可能

解：由cosA>sinB，可知A為銳角，又cmA>sin-B→cosA>sin(π/2-B)及余弦函數(shù)在(0，π/2)上的單調(diào)性，得A<π/2-B→A+B<π/2，故選C．

辨析：命題者的意圖是通過上面解法選C，但上面解法是錯誤的．因為π/2-B不一定是銳角，也可能是負角時，C為銳角；當B為銳角時，C為鈍角；C不可能是直角．修正方法：改“∠C…”為“△ABC的形狀是…”，選擇值的形式也相應修改．

五、變式不夠嚴密，容易產(chǎn)生歧義

1．概念不清

例9：如果函數(shù)y=3x²-(2m+6)x+m+3中，y>0，求實數(shù)m的取值范圍．

誤解：由題設可知△<0，從而-3

辨析：“y>0”與“y值恒為正值”不能混為一談，y>0是指y能取到大于0的一切實數(shù)，而“y值恒為正值”是指x取一切實數(shù)，y的每一個取值都必須是正數(shù)，至于y是否取到了大于0的一切實數(shù)則不一定，實際上

無論m取何值，函數(shù)值的范圍都不會為y>0．

2．容易產(chǎn)生歧義

例10：某電腦公司計劃銷售“創(chuàng)新”牌電腦，該電腦的市售價為每臺2880元，成本價是市價的75％，該公司經(jīng)過技術(shù)改造后，提高了電腦的性能，決定了一個新價，以便按新價8折銷售后，可以獲得銷售的28％的利潤．

(1)新價是多少?折價后的售價是多少?

(2)為使公司按新價讓利后獲利總額不低于50萬元，則該公司今年應銷售多少臺這種電腦?

辨析：該題列式并不難，關(guān)鍵是對“銷售價”的理解，到底是原來的售價還是“按新價8折銷售后”的售價?事實上學生大多理解為后者，從而該題解答大部分判為。分，為什么不明確地說明是原來的銷售價呢?這對提高學生的數(shù)學素養(yǎng)又有什么作用呢?編題題意應該清楚明白，不能含糊，不能玩文字游戲。

3．解法不合常理的試題

例11：每天早晨，張明要做完幾件事：起床穿衣8分鐘，刷牙洗臉5分鐘，煮稀飯13分鐘，吃早點7分鐘，聽廣播15分鐘，整理房間6分鐘，做完這些事再上學，請問張明從起床到上學至少需要( )分鐘．

(A)20分鐘 (D)24分針

(C)26分鐘 (D)28分鐘

辨析：這是個合理安排計劃問題。一般認為：起床穿衣(8分鐘)→煮稀飯(13分鐘)→吃早點(7分鐘)，其他活動如刷牙、洗臉、聽廣播、整理房間可以兼做，一共需要8+13+7=28(分鐘)．但是這份試卷的標準答案卻是這樣的：“起床、刷牙、吃早點、整理房間必備，其他可以兼做”．即：起床穿衣(8分鐘)→刷牙洗臉(5分鐘)→吃早點(7分鐘)→整理房間(6分鐘)，一共是8+5+7+6=26(分鐘)．煮稀飯安排在什么時間進行?如果在起床穿衣之后煮稀飯，時間要花去8＋13=21分鐘，吃早點時間只有5分鐘，不能滿足題設要求．如果起床就洗米、煮稀飯，總的時間控制在26分鐘是可以辦到的，但不穿衣服就做事顯然不合情理，在夏天不穿衣服就煮稀飯尚且可以辦到，在冬天能行嗎?所以這樣解答欠合理．

數(shù)學習題的設計是教師從學生的實際出發(fā)對教材的深入研究的再創(chuàng)造。這種創(chuàng)造對發(fā)展學生的能力，培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)有著巨大的推動作用．尤其是在新課改的大潮中，新教材為教師提供更廣闊的空間，教師已經(jīng)成為真正意義上的課程資源創(chuàng)造者．在新教材中可以作為創(chuàng)設教學情境的問題原型比比皆是，只要教師有認真鉆研、積極思考的精神，以現(xiàn)代教學理念和現(xiàn)代教學技術(shù)為指導，做一個教學的有心人，就一定能夠創(chuàng)造一片自己的天空．

編輯／張燁

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