三解形內角和定理證明中正遷移的培養

學習遷移這一心理規律，是我們在教學中常用的一種策略．在教學中有效控制影響遷移規律的因素，促使學生學習產生正遷移，避免或減少發生負遷移或零遷移，以期達到最佳的教學效果．

三角形內角和定理是平面幾何中的基礎定理之一，又是證題中首次出現添加輔助線，因而啟示學生，使之形成學習正遷移，達到減小學習梯度，化難為易，觸類旁通的目的，這也為后續學習打下了一個良好的基礎．

下面以該定理的證明過程，談幾點產生正遷移的做法．

一、利用可逆聯想，使學習產生正遷移

師：請同學們任意畫一個三角形，分別量一下這三個角并計算其和大約是多少度？再將三個角剪下，拼成以一個點為公共頂點的角后，看看組成一個什么角?

生：平角．

師：平角的圖形是怎樣的?

生：畫出圖形．(圖1)

師：從圖上能看出以點c為端點的射線是哪幾條?

生：CB、CD．

師：你能以點C為端點再做出一條射線嗎?

生：畫出圖形．(圖2)

師：就現有圖形，要想得到以點C為一個頂點的三角形，應怎樣做?

生：在CA上取一點，再在CB或CD上任取一點，連結該兩點即可．(圖3)

師：圖中△ABC與我們要證明的已知條件有什么關系?

生：是一致的．

師：若無射線CD，以C為頂點的平角BCD還能不能存在?

生：不存在．

師：我們要證出180°的角來，由圖可知，就必須有平角BCD．因此，在已知AABC的基礎上，就多出一條線CD，那該怎樣做?

生：延長BC至D，便有平角180°了．

師：從圖中可發現∠BCA+∠ACD＝180°．要證∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，下面該怎樣辦?

生：能證出∠ACD=∠BAC+∠ABC就可以了．

師：怎么辦?

生：將∠ACD劃分為兩個角．

師：怎樣劃分?

生：過點C做射線CE．(圖4)

師：做出射線CE后，再怎樣證?

生：證明∠A+∠B＝∠1+∠2．

師：也就是證明∠A、∠B分別與∠1、∠2存在什么樣的關系?

生：分別相等．

師：怎樣才能做到分別相等?

生：使射線CK∥BA．

師：為什么?

生：兩直線平行，內錯角、同位角都分別相等，于是得出要證明的結論．

[由學生總結出該定理證明的關鍵和方法．教師運用了先行學習(平行線的性質)對后繼學習(該定理的證明過程)產生了積極影響，故而使學習產生了正遷移．教師再指出，什么是輔助線，添加輔助線的作用、目的，以及輔助線的畫法、要求等．)

二、提供實踐機會，使學習產生正遷移

三角形內角和定理已證明完畢，但為使學生能更好地掌握和運用上述證明過程、規律，加深理解和拓展延伸知識面，產生學習正遷移，又做了如下設計．

師：我們延長了△ABC的一邊，構成了平角，此題得證．還有沒有其他添加輔助線的方法，使之得到證明呢?

生：有，根據平行線性質，還可過AABC一個頂點做平行于對邊的直線(圖5)．

師：為什么?

生：∵∠B＝∠1，∠C＝2，∠1+∠BAC+∠2＝180°，問題得證．

師：好，大家想一想，還有沒有其他辦法可以證明?

生：有．

師：說說看．

生：過AABC的一個頂點做平行于對邊的射線．(圖6)

師：為什么?

生：∵CD∥BA，∠A＝∠1，∠B+∠BCD＝180°；問題得證．

三、啟發概括能力，使學習產生正遷移

師：前面的三種證法，同學們總結一下，輔助線的做法有何共同之處?

生：有兩種是做某邊的平行線．

師：怎樣做的平行線?

生：都是過三角形某個頂點做的．

師：過某點做的平行線?

生：是的．

師：如(圖7)，我們不過A、B、C三個頂點，在某一邊上任取一點D，看看還能不能證出?試試看．

生：過點D做DE∥CA，DF∥BA，分別交BA、CA于點E、F．

學生做完后，檢查其中有無犯邏輯錯誤，產生學習負遷移者，教師進行補充，訂正然后學生練習下列兩題：

四、突出解題過程，使學習產生正遷移

(圖8，圖9)兩題中的輔助線都是過點D做與AABC三邊分別平行的直線，還能證出三角形內角和定理嗎?請練習一下．

學生練完后，留思考題：

1．(圖3)中的∠ACD是AABC的一個外角，若把(圖4)中的CE去掉，能發現∠ACD與∠BAC、∠ABC存在什么關系?

2．(圖8、圖9)中，一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，這兩個角存在什么關系?

經探索，學生容易得出三角形外角定理．教師適當引導、點撥，也能總結出：“如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補”從而使正遷移得到強化．

學生小結本定理的證明規律后，教師指出：該定理的證明，以后還會學到許多方法．如學習了全等三角形，軸對稱圖形，本課開始時，小學生用折紙法得到的結論即可得到證明(圖10)學習了圓的知識，讀到高中時，學習了直線的方程后等也可證明該題．目的在于喚起學生的求知欲望和學習興趣．在課的進行中，教者應隨時控制教學流程的各個環節，盡量避免產生干擾，同時還要掌握好泛化和分化對解題的影響，使學生的思維始終沿著正遷移方向發展，逐漸養成良好的思維品質．這樣做，既符合“課程標準”的要求，同時又會使學生學會分析問題和解決問題的方法．

(作者單位：青岡縣教師進修學校)

編輯／張燁

E-mail：hit790205@163．com