尋找臨界點的兩種有效方法

帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題是學習過程中一個難點，學生感到不知如何下手。尋找臨界點是關鍵，下面介紹兩種有效方法

1軌跡圓的縮放：當粒子的入射方向不變而速度大小可變時，粒子做圓周運動的軌跡圓心一定在入射點所受洛倫

茲力所表示的射線上，但位置(半徑R)不確定，用圓規作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動態變化中即可發現“臨界點”。

例1如圖，電子源S能在圖示紙面上360°范圍內發射速率相同的電子(質量為m、電量為e)，MN是足夠大的豎直擋板，與S的水平距離OS=L，擋板左側是垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場。要使發射的電子能到達擋板，電子速度至少為多大?

析與解據洛倫茲力提供帶電粒子做勻速圓周運動的向心力，可得粒子做圓周運動的軌道半徑r=mvqB，由該式可知，使電子到達擋板的最小發射速度，對應其有最小的軌道半徑，哪一段長度是最小半徑，必須通過電子運動的軌跡來確定。電子到達擋板的某一點，則以該點和發射點S連線為直徑的軌跡圓對應的發射速度必最小，并且這一最小的發射速度隨直徑的減小而減小，因SO為諸直徑中的最小直徑，故電子能到達擋板的最小軌跡圓如圖所示。因題目未明確電子到達擋板上的哪一點，只要求電子能到達擋板，所以，圖所示軌跡對應的電子發射速度即為所求，顯然

2軌跡圓的旋轉：當粒子的入射速度大小確定而方向不確定時，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點發生了旋轉，從定圓的動態旋轉(作圖)中，也容易發現“臨界點”。

例2據有關資料介紹，受控熱核聚變反應裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場約束帶電粒子運動將其束縛在某個區域內。現按下面的簡化條件來討論這個問題：如圖所示，有一個截面內半徑為R1=0．5m、外半徑為R2=1.0m的環狀區域，區域內有垂直于紙面向里的磁場。已知磁場的磁感應強度B=1．0T，若被束縛的粒子的荷質比為qm=4．0×107C／kg，不計帶電粒子的重力。中空區域中帶電粒子具有各個方向的速度，試計算：

(1)粒子沿環的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度；

(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度。

析與解(1)該題背景取自受控熱核反應，故被磁場約束的粒子為原子核，帶正電。在磁場內邊界上任取一點A，從A點沿徑向射入磁場的粒子因速度不等而做半徑不等的圓周運動，圓心均在過A點的切線上。將圓心從距A較近的位置逐漸向外移動，作一些半徑漸大的圓，就會發現與磁場外邊界內切于B點的軌跡圓OO′為粒子不能穿越磁場的最大軌跡圓(如圖所示)，其對應的速度即為粒子不能穿越磁場的最大速度。找到了OO′，據幾何知識可求得其半徑，r=0．375m，對應的速度v=1．5×107m／s。

(2)因“中空區域中帶電粒子具有各個方向的速度”，就必須對從A點沿不同方向進入磁場區域且不穿越磁場的最大軌跡圓進行比較，其中最小的軌跡圓對應的速度才為所有粒子不能穿越磁場的最大速度。為此，可先作出沿A點切線以v1速度進入磁場的粒子的最小軌跡圓⊙O1，再將粒子入射的速度方向逆時針轉動，取幾個方向作出對應的最大軌跡圓，直至作出沿A點切線以v2速度進入磁場的粒子的最大軌跡圓⊙O2(如圖所示)。作圖中可發現最大軌跡圓的半徑越來越大，最終鎖定OO1的半徑最小，進而算得r1=0．2 5m，v1=1×107m／s，這一速度即為所有粒子不能穿越磁場的最大速度。

例3在例1中若S發射的電子速率為eBLm時，擋板被電子擊中的范圍有多大?

析與解由例1問得知，對應軌跡半徑為L2的電子，其發射速率為eBL2m，現電子的速率為eBLm，則軌跡半徑r=L。以O為圓心、L為半徑作⊙O，如圖所示，⊙O代表了速率v=eBLm的電子軌跡圓的大小。設想發射速度v的方向作順時針轉動，則⊙O也要繞S點作順時針轉動，則當⊙O轉到O1位置時，⊙O1與擋板相切于P點，P點即為電子擊中擋板的最低位置。

繼續順時針轉動⊙O，當轉到O2位置時，⊙O2與擋板相交于Q點，SQ為⊙O2的直徑，則Q點即為電子擊中擋板的最高位置。因P、Q兩點之間的區域均能被電子擊中，故擋板被電子擊中部分的長度PQ=(1+3)L

以上兩種方法在解決帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題時是非常有效的，可以解決學生學習時的困難，同時要重視分析時的尺規作圖，規范而準確的作圖可突出幾何關系，使抽象的物理問題更形象、直觀。

（欄目編輯 羅琬華）

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