光柵的分辨本領與角半寬度
2006-04-29 00:00:00黃曙江
物理教學探討 2006年19期
理想情況下光柵的色分辨本領為：
R=kN。（1）
即光柵的色分辨本領隨光譜的級次的增加而增大。而光柵衍射中第k級主極大的角半寬度為：
(2)
當衍射角θ增大時，角半寬度Δθ變寬。由光柵方程d1sinθ=kλ可知，衍射角θ隨級次k增加而增大，因此對應較寬的半角寬度，按理應使相鄰色光更易重疊，也就是說色分辨本領似乎因k的增加而變小，這與(1)式似乎相互矛盾。那么半角寬度增大是否會影響光柵的分辨本領呢?下面就光柵的分辨本領和角半寬度與k的關系進行討論。
1主最大的角半寬度的值
多光束干涉原理可知，若光柵狹縫數為N，光強為：
(3)
當v=kπ時產生干涉最大，光強為N2a2，即在滿足下式的θ方向上應有與主最大對應的亮條紋出現：
(4)
當v=k′πN，而k′≠N，2N，3N時，則光強為零。即在滿足下式的θ方向上光強為零：
(5)
所以第k級主最大滿足：
(6)
最靠近它的最小級數k′應為：k′=kN+1。按(3)式該最小所在方向(θk+Δθ)滿足
(7)
(6)(7)兩式相減，且
圖1表示第k級主最大和最靠近它的最小的級數k′的衍射角及角半寬。從Δθ的表達式看，光柵上狹縫的總數目愈大，則所得各級主最大愈細，若光柵上的狹縫數不變，則當衍射角θk增大時，cosθk減小則半角寬度Δθ增大。
圖1：G為光柵、P為屏、θk第k級主最大衍射角、Δθ第k級主最大和相鄰最小的角半寬
2光柵的分辨本領
若以瑞利判據作為分辨的標準，主最大的半角Δθ就是光柵的最小分辨角。那么對應Δθ的兩譜線的波長差Δλ，即光柵所能分辨的最靠近的兩個光譜線的波長差代替光柵的最小分辨角。由光柵公式(4)式求微分得dλdθ=d1cosθk。(8)
所以最小分辨角Δθ對應的兩譜線的波長差Δλ為：
分辨率P=λΔλ=kN。
3角半寬度與角色散率
從角色散率dλdθ=d1cosθk可知，光柵常數d1愈小，角色散率愈小，高級次的光譜的角色散較小，反之角色散的倒dθdλ是隨級次k增大而增大愈大。即角度差1單位的兩譜線的波長差隨級次的增大而增大。
角半寬度Δθ為k級主極大的半寬度，由(2)式知，當k增大時，由于θ增大，cosθ減小，所以Δθ增大。而分辨本領是角色散的倒數和角半寬度的倒數乘積再乘λ，即：
(9)
因此由(9)式可知，此時己與cosθ無關，所以角半寬度的增大并不影響光柵的分辨本領。
（欄目編輯 羅琬華）
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