問題解決理論與小學數學課程改革

問題解決是上世紀80年代以來國際數學教育界提出的一個重要概念。問題解決的思想和實踐，影響了20多年數學教育的進程，問題解決已成為近年來數學教育的主題之一。問題解決活動是富有“挑戰性”和“啟發性”的。在數學教育的歷史上，問題解決對改善課堂教學曾經發揮過重要作用。美國斯坦福大學的波利亞教授，在40年前就倡導“如何解決問題”，為當時枯燥無味的數學課堂，引進了生動有趣的學習活動。他提倡的“解決問題”的教學活動，經過“實驗”、“觀察”到“發現”，揭開了新的數學學習過程。在目前數學課程改革深入發展的今天，問題解決的理論依然具有十分重要的意義。

一、問題解決的含義

問題解決的實質是學習者面對新的情境所進行的數學思維，通過解決一系列非常規的問題，使學生的數學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能。所謂問題，是指對學習者來說沒有現成方法可以解決的情境狀態，它需要學習者經過思考和探索才能解決。因此，小學數學中的一些練習不能算作問題，一些反復操練的常規應用題也不能算作問題。問題解決和我們平時講的“解題”或“練習”有重大的區別。

如果將“問題解決”與“練習”作一個比較的話，不難發現它們之間存在著許多不同。第一，練習著重尋找答案，而問題解決著重尋找解決問題的途徑與方法，更強調過程性。第二，練習往往針對某個知識或技能點，著重對某項數學技能的練習，問題解決著重“如何”將一般知識和技巧運用到新情況中，具有綜合性的特點。第三，練習著重快速獲得正確答案，而問題解決著重如何尋求創造性的方法．問題解決是一種探索和研究的活動，它需要一個過程。第四，練習可以對某一類習題反復演練，問題解決中的“問題”具有新穎性。從這些比較看小學數學教學，問題解決是一個學生進行數學思考的歷程，目前我國小學數學教學中有關問題解決的活動是不夠的。

認知心理學的研究進一步揭示了問題解決的含義，明確了問題解決的實質是數學思考。問題解決中的認知成分是問題解決活動的一個本質特點。對學生來說，一個數學問題就是學生有興趣并希望得到解答的一個任務，但還沒有一種現成的數學方法讓他們用來得到這種解答。因此，數學思維是問題解決活動的本質。在一定程度上，“問題解決”和“思維”是同義的，可以交替使用。

進一步，問題解決活動涉及“高級”思考過程。在問題解決的過程中，學生在嘗試尋找“答案”時，不是簡單地應用已知的信息，而是對信息進行加工，重新組織若干已知的規則，形成新的高級規則，用以達到一定的目標。原來已有的有關數學知識，是問題解決過程中的思維素材。另一方面，問題解決的過程對學生思維品質的發展具有促進作用。在解決問題中，小學生會根據解決問題的目的對已經掌握的數學知識進行組織，找出對當前問題適用的對策。問題一旦解決，學生的思維能力隨之而發生變化。因此，小學生創造性地解決問題則有助于思維的新穎性和獨創性等的發展。

二、問題解決的過程

波利亞的研究是上世紀80年代以來問題解決研究的基礎。波利亞在《怎樣解題》中提出了著名的啟發式問題解決的模式，并詳細論述了一系列啟發式的策略。1980年代以后，不同學派的學者用各自的理論解釋問題解決，強調不同的問題解決的要素，從而構成了不同的問題解決的模式。這些模式實際上反映了問題解決的不同方面。

第一種模式是信息加工的模式。隨著現代認知心理學的發展，許多認知心理學家認為問題解決是認知科學研究的重要領域，現代認知心理學是數學教育]：作者研究問題解決的天然伙伴。1980年代以來，很多認知心理學家對問題解決中的思維過程進行研究。

現代的認知心理學把解決問題看作是一種認知的活動。他們認為，認知科學涉及發現一個現存的問題如何與解題者記憶中的概念和觀念聯系起來。因此，問題解決實際上是把問題與記憶中的圖式聯系起來的過程。問題解決包含了問題表征和表征分析兩個過程，這兩個過程又可以分成具體的子過程。

美國心理學家安德森強調“問題空間”的概念。他認為可以把問題解決看成是對問題空間的搜索，問題解決的任務在于找出一種能把初始狀態轉變為達到目標的目標狀態的操作序列。問題解決的信息加工模式包含了以下幾個基本的要素：1．問題任務的環境；2．長期記憶；3．工作記憶。他還進一步指出了解決問題的過程，學生面對問題的任務情境，從長期記憶中復現出工作記憶，并在工作記憶中不斷調整并形成問題的空間，即問題的心理表象。因此，外在的問題環境和內在的問題空間之間的差異和交互作用是解決問題的關鍵。

第二種模式是元認知模式。在認知心理學看來，解決問題的過程既是一個認知過程，也是一個元認知的過程，包括解決問題過程中的自我監控和自我調節，元認知行為是問題解決的驅動力量，它影響各個階段的解決問題的活動。數學問題解決的元認知過程涉及知識、執行過程和情感因素三個系統。

1．知識的系統。長期記憶中的相關知識是解決問題的基礎。學習者的知識是解決問題的重要變量。在解決問題的過程中，學習者經歷了知識的激活和重組。當學習者面臨一個問題情境時，存在于長期記憶中的絕大多數信息并沒有被調動起來，只有少部分信息進入工作記憶中。

2．執行要素的系統。執行要素即認知過程方面的要素，包括：計劃、監控、評價和修正思維。在這些要素中，調節是核心因素。所謂調節是指對于所從事的認知活動的自我意識、自我分析和自我調整。元認知在問題解決中主要是指自我調節。

3．情感因素的系統。所謂情感因素，在這里是指學生解決問題的愿望和決心等。學生的信念、對問題的態度等情感因素也影響學生解決問題的表現。學生的信念包括數學觀、數學學習觀和自我意識等。情感和信念對于解決問題的重要性是明顯的。

第三種模式是社會應用模式。近年來出現的現實主義的數學教育學派從社會應用的角度考察問題解決，把數學的問題解決看作應用數學的一種經驗的過程。學習數學的起點不是引進抽象的數學概念，而是現實世界的情境，現實世界來自于學生的世界。數學學習是一種經驗的過程。這個過程有兩個基本點：其一，數學學習的起始點是學生現實的世界；其二，上述的起始點也就是數學學習的終點。

第四種模式是人文數學的模式。美國一些數學教育家1986年發起有關人文數學的討論，中心問題是數學和人文學科的關系，對用邏輯來定義學校數學性質并忽略其人文特性進行挑戰。人文數學的問題解決模式強調了以下幾點：1．注重學生生活的情境。問題解決，不是主要集中于文字題，而要發展一種問題的情境，學生在這種情境中產生問題并解決問題。這種問題稱為真實的問題。2．即使是解一個給定的問題，也必須理解這個問題。所謂理解就是：這個問題由何而來，是否值得進行思考等。3．注重交流和合作的解決問題的方式，強調數學作為語言的功能并發展學生合作的技能。解決問題應該包括課堂教學中集體活動的形式。4．以不同形式提出問題并使之與問題解決整合起來。這種整合提供了一種氣氛，使學生有一種情感的因素參與其中。5．在解決問題的思維過程中，直覺思維等思維形式是重要的，而不僅僅是邏輯思維。人文數學的方法有助于促進學生自我指導、激發動機，有助于學生生活和現實世界的密切聯系。

美國心理學家奧蘇伯爾等認為，問題解決一般要經歷下面四個階段：第一階段：呈現問題情境命題。第二階段：明確問題最終目標與已知條件。第三階段：填補空隙過程。學生看清了“已知條件”和“目標”之間的空隙或差距，并建立聯系。這一過程是解決問題過程的核心。第四階段：解答之后的檢驗。心理學家澳勒斯根據發明家解決問題的經驗，探索創造性問題解決的過程，將此過程劃分為四個階段：即準備、孕育、明朗和驗證。

杜威就提出了五步模式。第一步產生一種懷疑，即產生認知上的困惑感；第二步嘗試從情境中識別出問題；第三步使問題情境中的命題與已有的認知結構聯系起來，激活頭腦中有關的已有知識與方法，又進一步對這些知識和方法重新進行組織或轉換，提出解決問題的假設；第四步，需對假設作檢驗；第五步，將成功的答案組合到認知結構中，解決問題中策略性知識等具有遷移的作用，它可以應用于許多新的情況。在不少的實際問題中，這五步是交錯使用的。

三、問題解決與新課程改革

問題解決是目前我國小學數學課程與教學改革的一個重要問題。應該把學生引導到問題解決活動中去，生動活潑的、思考性的、現實的問題解決活動應該成為小學數學學習中的一個重要內容。小學數學教材應當努力創造一種鼓勵學生探索、解決問題，進行數學思維的課堂環境。

實際上，強調解決問題也是目前國際數學課程改革的重要趨勢。目前，在國際數學課程改革方面有如下動態：1．強調解決問題和數學應用，是國際數學課程改革的一個熱點問題。例如，在英國國家數學課程的五個目標中，首要的目標是關于應用數學知識及其思想方法的基本要求，這一目標伸延與滲透到其余教學目標中，并構成數學教學基本框架。2．強調綜合活動，是國際數學課程改革的又一個熱點問題。例如，在日本學習指導綱要中，提倡綜合活動(跨學科的綜合活動)。3．強調非常規問題，發展學生的創新能力，也是國際數學教育研究中一個熱點問題。對開放性問題的研究已經成為一個研究和實踐的重點。

從上世紀80年代以來，解決問題的理論不斷得到發展。目前有兩個動向值得注意，一是對數學思維特別是對數學推理的研究；二是對提出問題的研究。把提出問題作為一個教學環節來處理，一方面老師提出問題，也稱為課堂中的布題；另一方面也重點要培養學生提出問題的能力。

數學課程標準中把解決問題作為一個目標領域，這樣安排并不是空泛的，而是有一個比較完整的設置，理解這樣的課程設置對我們進行小學數學教學改革是非常重要的。在新課程中，解決問題是發展學生的創新意識和實踐能力的重要途徑，也是發展學生的數學理解和數學思維的重要途徑。數學課程標準對解決問題提出了具體要求，解決問題總體目標是：“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題”。具體要求包括：(1)逐步學會從數學的角度提出問題、理解問題并能綜合運用所學知識和技能解決問題；(2)形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神；(3)學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果；(4)逐步形成評價與反思的意識。

在數學課程標準中，解決問題不僅僅是四大目標領域之一。同時，解決問題的要求貫穿在四個學習內容中(數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用)。在新課程中，解決問題有兩個基本的課程渠道：(1)應用題的教學；(2)實踐與綜合應用。實踐與綜合應用的范圍很廣，可以發展學生多方面的能力，特別是發展學生解決問題的意識和能力。

總之，解決問題在數學新課程中處于十分重要的地位。如何在教材設計和課堂教學中體現這些要求，是十分重要的研究課題。

(作者單位：華東師范大學課程與教學研究所)

責任編輯：沈本領