話說(shuō)抽屜原理

《晏子春秋》里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事，大意是：

齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。

這三名勇士都力大無(wú)比，武功超群，為齊景公立下過(guò)不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無(wú)人，得罪了齊國(guó)的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士?jī)蓚€(gè)桃子，讓他們自己評(píng)功，按功勞的大小吃桃。

三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子，古冶子說(shuō)出了自己更大的功勞。公孫接、田開疆都覺(jué)得自己的功勞確實(shí)不如古冶子大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺(jué)得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好漢就沒(méi)有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見了，后悔不迭。仰天長(zhǎng)嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我獨(dú)自活著，算什么勇士！說(shuō)罷，也拔劍自殺了。

晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說(shuō)是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝的一位無(wú)名氏在一首詩(shī)中曾不無(wú)諷刺的寫道：“……一朝被讒言，二桃殺三士。誰(shuí)能為此謀，相國(guó)務(wù)晏子！”

值得指出的是，在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理——抽屜原理。

什么叫抽屜原理？簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：把多于ｍ個(gè)物品放到ｍ個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里的物品不止一個(gè)。更一般地說(shuō)，把m×n＋1個(gè)物品放到m個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里的物品至少有n＋1個(gè)。例如，把7（3×2＋1）本書放到三個(gè)抽屜里，不管你怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有3（2＋1）本書。在“二桃殺三士”的故事中，把兩個(gè)桃子看作兩個(gè)抽屜，把三名勇士放進(jìn)去，至少有兩名勇士在同一個(gè)抽屜里，即有兩人必須合吃一個(gè)桃子。如果勇士們寧死也不肯忍受同吃一個(gè)桃子的羞恥，那么悲劇的結(jié)局就無(wú)法避免。

抽屜原理雖然簡(jiǎn)單，但在數(shù)學(xué)中卻有廣泛而深刻的運(yùn)用。十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屜原理來(lái)建立有理數(shù)的理論，以后逐漸地應(yīng)用到引數(shù)論、集合論、組合論等數(shù)學(xué)分支中，所以現(xiàn)在抽屜原理又稱為狄里克雷原理。

1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，當(dāng)年匈牙利全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人。”

這個(gè)問(wèn)題乍看起來(lái)，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屜原理，要證明這個(gè)問(wèn)題是十分簡(jiǎn)單的：

我們用A、B、C、D、E、F代表六個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到“與A認(rèn)識(shí)”和“與A不認(rèn)識(shí)”兩個(gè)“抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在“與A認(rèn)識(shí)”的抽屜里有三個(gè)人，他們是B、C、D。如果B、C、D三人互不認(rèn)識(shí)，那么我們就找到了三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人；如果B、C、D三人中有兩個(gè)互相認(rèn)識(shí)，例如B與C認(rèn)識(shí)，那么，A、B、C就是三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。

由于這個(gè)試題的形式新穎，解法巧妙，很快就在全世界廣泛流傳，使不少人知道了這一原理。其實(shí)，抽屜原理不僅在數(shù)學(xué)中有用，在現(xiàn)實(shí)生活中也到處在起作用，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評(píng)定等等，都不難看到抽屜原理的作用。

在我國(guó)古代文獻(xiàn)中，有不少成功地運(yùn)用抽屜原理來(lái)分析問(wèn)題的例子。例如宋代費(fèi)袞的《梁谿漫志》中，就曾運(yùn)用抽屜原理來(lái)批駁“算命”一類迷信活動(dòng)的謬論。他寫道：“近世士大夫多喜譚命，往往自能推步。予嘗見人言日者閱人命，蓋未始見年、月、日、時(shí)同者；縱有一二，必倡言于人以為異。嘗略計(jì)之，若生時(shí)無(wú)同者，則一時(shí)生一人，一日生十二人，以歲記之，則有四千三百二十人；以一甲子計(jì)之，止（只）有二十五萬(wàn)九千二百人而已。今只從一大郡計(jì)，其戶口之?dāng)?shù)尚不減數(shù)十萬(wàn)，況舉天下之大，自五公大人以至小民何啻億兆？雖明于數(shù)者有不能歷算，則生時(shí)同者必不為少矣。其間五公大人始生之時(shí)則必有庶民同時(shí)而生者，又何貴賤貧富之不同也？”

費(fèi)袞指出：把一個(gè)人出生的年、月、日、時(shí)（八字）作算命的根據(jù)，把“八字”作為“抽屜”，不同的抽屜只有12×360×60＝259200個(gè)。以天下之人為“物品”，其數(shù)“何啻億兆”，進(jìn)入同一抽屜的人必然千千萬(wàn)萬(wàn)，因而結(jié)論是“生時(shí)同者必不為少矣”。既然“八字”相同，“又何貴賤貧富之不同也？”

清代錢大昕的《潛研堂文集》、阮葵生的《茶余客話》、陳其元的《庸閑齋筆記》中都有類似的文字。然而，令人不無(wú)遺憾的是：我國(guó)學(xué)者雖然很早就會(huì)用抽屜原理來(lái)分析具體問(wèn)題，但是在古代文獻(xiàn)中并未發(fā)現(xiàn)關(guān)于抽屜原理的概括性文字，沒(méi)有人將它抽象為一條普遍的原理。最后還不得不將這一原理冠以數(shù)百年后西方學(xué)者狄里克雷的名字。

“悟已往之不鑒，知來(lái)者之可追。”我國(guó)是一個(gè)有十三億人口的發(fā)展中國(guó)家，我們辦什么事情都難免要受到抽屜原理的制約，我們的各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)，在施政決策的時(shí)候，是絕對(duì)不能對(duì)這一原理掉以輕心的。