“二倍角的正弦、余弦、正切”的教學設計

三角函數是中學數學的重要內容之一，它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數中的式子變形和圖像分析，因此，三角函數的研究已經初步把幾何與代數聯系起來了，高等數學、物理學、天文學、測量學以及其他各種應用技術學科，都要經常用到三角函數及其性質，所以，這些內容既是解決生產實際問題的工具，又是學習高等數學學科的基礎。

“二倍角的正弦、余弦、正切”的課堂教學內容較多，分三課時，主要的公式有倍角公式、半角公式、和差化積公式、積化和差公式，以下是對第一課時的教學設計。

以往對于本節課的教學感覺是公式多、邏輯性強，但并不難講，往往是把公式在黑板上給學生推導出來，讓學生強化記住，然后會用公式解決問題就達到目的了，結果教師和學生都感到很枯燥乏味。

按照《數學課程標準》的要求，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程．那么，如何在教學中體現這個過程，怎樣才能使學生積極主動地學習，讓學生養成獨立思考、積極探索的習慣呢?

一、創設問題情境，激發學生的學習興趣

以本章引言中與學生的生活直接相關的綠地面積問題引入新課，培養學生數學建模思想，激發學生的學習興趣。

S＝a²·2sinθcosθ這是以θ為自變量的函數，當θ取什么值時使s達到最大呢?

在上節課的基礎上，提問正弦、余弦、正切的和角公式，欲揚先抑，溫故而知新。

二、公式推導

在正弦、余弦、正切的和角公式的基礎上請學生推導出：

循序而漸進，在已有知識的基礎上將一般化歸為特殊，新知識的提出和學習符合學生的認知規律。

提出問題：除以上的用單角的三角函數表示倍角的三角函數公式外，你還能夠寫出更多的公式嗎?

給學生充分的自由，引導學生去探索，對于倍角的余弦、正切，學生一定能寫出更多的公式，教師給予鼓勵。(學生很可能會發現萬能公式和二倍角的余弦公式的其他形式。)讓學生體驗數學公式發現和創造的歷程，發展他們的創新意識．

三、例題探索

給學生時間閱讀教材中的例題，培養學生的閱讀自學能力，發現問題、解決問題的能力和數學應用意識。

求2a的正弦、余弦、正切。

提出：如果改變條件，已知角的余弦或正切，其他條件不變，怎樣解?

把問題交給學生，源于課本又不拘泥于課本，找學生在黑板上演示，其他同學在做完后評議，對于一部分學生進行的是學習形式化表達的訓練，對于全體學生則強調對公式本質的認識，特別是對于萬能公式的運用一定會給很多學生留下深刻的印象，但不做進一步的強調，盡量達到一題多解，培養學生的發散思維。

例題2

提出問題：請問你在閱讀的過程中發現了什么問題?

給學生時間考慮、討論，培養合作交流的學習方式．學生很有可能發現不了問題。

在教材的證明過程中說“原式等價于

請同學們考慮以上兩個式子等價嗎?

對于三角恒等變換主要從變角、變名、變式著手．由于三角函數式一般都是復合函數，角是中間變量，所以對三角函數式變換中的角的處理顯得特別重要，一定要注意角的范圍。

引導學生去發現等式(1)與(2)中角的范圍是否一樣。

教材中說(1)式與(2)式等價，對嗎?怎樣證明才能使角的范圍不變呢?

教材對于這個例題的處理我覺得欠妥當．把要證明的等式中的角的范圍縮小了，并不是等價變換．而且這個問題也是學習三角中最容易出現的錯誤，通過這個教材中的錯誤教育學生用批判的態度學習，進一步研究正確的解法，由學生給出，學生的學習興趣高漲，注意力高度集中。

讓學生經歷觀察發現、歸納類比、抽象概括，提高學生的數學思維能力，對課本中的每個習題達到舉一反三、一題多解，培養學生的發散思維及思維的靈活性。

四、課堂練習

引言中習題的解決．前后呼應，滿足學生的表現欲．

五、總結反思

1．學生總結倍角公式．

2．與學生共同總結倍角公式與和(差)角公式的內在聯系

3．對于由學生創造出的公式給予鼓勵和肯定．

4．強調在運用公式解題的過程中要注意的地方，

如：角的范圍等，同時鼓勵一題多解，從不同的角度觀察問題。

在本節課的教學設計中，以實際生活中的例子為引子，遵循情境性原則和實踐性原則，由學生閱讀課本，去探索和發現問題，不單純地教課本，而是用課本來教，體現開放性原則，師生共同發現問題、解決問題，交互合作，體現交互性原則，通過對于例題的深入發掘，培養學生思維的發散性、靈活性，引導學生勇于用懷疑的、批判的目光去看待數學，這樣才能有所突破，有所創新，培養學生的創造性思維．

豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念，作為教師如何在《數學課程標準》下改進教學方式、提高課堂教學效率?深入發掘教材、鉆研教學理念是最好的途徑，而師生互動的課堂教學又是進一步提高教學水平的平臺，厚積而薄發，學無止境，教也無涯，讓今天比昨天教得更好，

(作者單位：伊春市第一中學)

責任編輯／張 燁