第三屆五四青年智力競賽部分試題解答

歆　康

第27題

題目:在《失樂園》第一卷中，描寫天神岳夫把伏爾坎從天堂中扔出來，米爾頓用詩描述伏爾坎跌到地球上來的過程:

他從早晨掉到中午，

又從中午落到帶露水的晚上，

整整一個夏日；

同落日一起，

象隕星一樣從天頂跌落下來，……

自然天堂是沒有的，不過我們可以根據米爾頓給的數據，計算出“天神”所在的“天堂”的高度為——千米；伏爾坎跌入大氣層頂部時的速率為——千米/秒。(設米爾頓寫書的地方白晝為17.5小時)若考慮到加速度與到地球中心的距離的平方成反比，計算出“天堂”高度的修正值為——；伏爾坎跌入大氣層的速率的修正值為——。

題意:本題主要有兩個目的，其一是本題引用了圣經中有關天堂的一首詩，借米爾頓從天堂掉到凡間，讓讀者親自計算一下天堂的高度。計算的結果為1.9×107千米，修正值為9×104千米。根據有關天文數據，我們知道，1.9×107千米，只是地球到金星的距離(約4.2×107千米)一半不到。所謂天堂，連金星都到不了。事實上，在金星與地球的中間，則是空空蕩蕩的，根本沒有什么天堂。今天，我們人類已經能觀察到的最遠的星體，距我們地球達150億光年以上。可見，神秘莫測的天堂是經不起最起碼的科學推敲的，通過我們自己的計算，可以毫不猶豫地得出結論，天堂是根本不存在的。

其二，本題前后有兩個部分，前一部分比較容易，要求讀者將從天堂掉下來的米爾頓看作自由落體，天堂高度和進入大氣層的速度均可以用自由落體的公式來計算。后一部分難度較大，按正規解法，勢必要運用積分，最后求解的方程也比較復雜，但是對于會運用微機作科學計算的讀者來說，方程的數值解并不困難。不過，我們的目的是要求讀者會巧妙地利用開普勒第三定律，作修正值的估算，這便是一種能力，即要求讀者有類比推理和估算的能力。

運用自由落體公式求解:米爾頓從天上掉下來的問題可以看作一個質點的自由落體，因此根據米爾頓下掉的時間，可以算出天堂的高度。我們設天堂高度為y天堂，米爾頓下落時間為t，則有

米爾頓進入大氣層時的速度，也就是米爾頓掉了y天堂高度之后的末速度，我們設這速度為v，因此有

=(2×9.8米/秒2×1.94×1010米1/2=(2×9.8×1.94×1010)1/2米/秒≈620千米/秒。

修正值的估算:

1.用開普勒第三定律估算y天堂的修正值本題的第2問的難度較大，因此我們先利用開普勒定律來作估算。開普勒第三定律表明行星周期的平方與軌道半徑(或橢圓軌道的半長軸)的立方成正比，設周期為T，半徑的長度為r，則有

其中G為萬有引力常數，G=6.67×10-11牛頓·米2/千克2，M為太陽的質量。由上式有，

顯然，此式也應同樣適用于地球的衛星，因此可以改為:

再根據地球表面自由落體加速度g，算出GM地。設R為地球的半徑，即有

雖然此式由衛星軌道推出來的，但我們如果設想有一質點沒有垂直于半徑的速度分量，沿半徑的速度分量在開始時也為零。這個質點由于地球的吸引，向地球掉下來，若地球中間有一個洞，該質點便穿過地心而去，到了另一端，質點的速度最終為零，又往回掉向地球，形成往復運動。這一往復運動的周期，可由(3)式來估算。我們假定米爾頓就是這樣一個質點，他從天堂掉到大氣層的時間，近似地為周期的1/4，設△t為米爾頓下落時間，故由(3)式有:

將各種數據代入(4)式，可得:

≈9×107米。

2.進入大氣層時的速度修正值

根據能量守恒定律，可得:

所以

代入各項數據，得:

∴v≈10千米/秒。

天堂高度的近似計算:

前面我們采用開普勒第三定律對天堂高度的修正值作了估算，那樣作，可以獲得數量級的估計?，F在我們給出嚴格的解法，然后在近似條件下，計算y天堂。

為此，我們設一坐標，其原點設在地球的球心，y天堂為r0，任何時刻米爾頓的位置為r0于是我們有

通過運算并整理后，再作分離變量得:

再利用三角公式

可得:

整理后積分得:

將各種數據代入，可算出r0=y天堂≈11×107米。這個近似值與估算值極為接近，這是由于(15)式與用開普勒第三定律估算的(4)式僅差的因子。

上述計算是一個比較好的近似，如要嚴格計算，則應使(11)式積分上限為sin=，這樣，所得的方程比較難解。若用微型電子計算機，采用迭代法，也是不難求出數值解的，我們不在此詳述了。