一門切實而奇妙的學問

楊熙齡

讀莫紹揆的通俗數理邏輯著作

說數理邏輯這門學問“切實”，大家都信，因為數理邏輯在電子數字計算機方面有重大的應用，而且它也是被恩格斯稱為“日用器具”的形式邏輯概念和方法的精密化和最新發展形態。但是過去往往被一部分人認為很簡單而置諸腦后的形式邏輯，現在竟發展到如此復雜豐富的地步，它已蒙上了一層“艱深”的幕布。中文的入門書，六十年代就有，如我國著名數學家莫紹揆教授的《數理邏輯導論》。不過，用通俗的語言來向廣大讀者介紹數理邏輯這門新興學科的書，卻最近才見到，那就是莫先生的下列三部新著：一、《數理邏輯初步》；二、《數理邏輯漫談》；三、《邏輯代數初步》。(以下分別簡稱《初步》、《漫談》、《代數》)

這三部書揭開了數理邏輯的面幕，使一般讀者(只需要具備一點形式邏輯和數學常識)能扼要而相當精確地了解數理邏輯的概貌。靠了莫先生的勞作，人們對于這門艱深的學問，也許敢于問津了。

這里自無法詳述三部書的內容，就初步談談《初步》，漫談一下《漫談》罷。

值得特別提出的是，著者用歷史的、發展的敘述方法來說明數理邏輯的由來及其主要內容，不象外國某些同類著作那樣，從定義出發，無聯系地羅列這個學科所包含的各種內容。著者采用的歷史的方法，可以說是貫穿著《初步》一書的主要部分，即該書的第一、二、三章。

著者分析了數理邏輯興起的原因，一是傳統邏輯的不足，在十九世紀中，人們就借助數學方法，試圖加以改進；二是數學基礎方面的研究提出了大量與邏輯有關的問題。“數理邏輯本身就是邏輯，是傳統邏輯本身內在矛盾發展的一個必然結果。”(《初步》第2頁)“近代數學出現以后，傳統邏輯之必須改造，便是昭然若揭的了。”(《初步》第8頁)“數理邏輯的發展還從各方面受到推動力……其一，是數學基礎方面的推動力。”(《漫談》第4頁)

著名德國數學家兼哲學家魏爾(H.Weyl)曾在他的《數學和自然科學的哲學》一書中說過，“亞里士多德邏輯，基本上也是一種從數學中抽象出來的東西。”(見該書一九五○年英譯本第3頁)如果確系如此，數學的發展又促成形式邏輯的發展，也是不足為奇的了。

《初步》中說：“在人類認識史上，離散和連續的矛盾是很重要的矛盾。人們認識外界事物時既到處看見離散的東西(可以一個一個地計數的)，又到處看見連續的東西。數理邏輯可以說是離散數學的一個主要內容。……從離散方面考察時，便和數理邏輯結下不解之緣了”(《初步》第150頁)。

形式邏輯的特點之一，在我看來，就是在于處理固定的、“凝結的”和“離散的”概念。被馬克思稱為“我們的哲學家”的制革工人哲學家約·狄慈根曾用通俗的語言，就形式邏輯的特點，說過：“……我們對自然實體的個別分子或現象形成的固定概念，我們則把它當作說明自然的必要手段……”，又說：“凝結的概念這種邏輯的日常使用應當而且必然會擴展至整個科學的領域。……但同時注意到事物不僅是自同而凝結的，而且也在變化流動，是十分有益的。這是一個矛盾，但并非沒有意義。這個矛盾迷惑了一般有思想的人，對于哲學家也起了大得驚人的影響。”(見一九七八年三聯新版、楊東莼先生譯《狄慈根哲學著作選集》第345、343頁，著重點是引者所加。)

狄慈根的話說得很清楚，宇宙間的一切都是互相連續的，“樹葉是樹的屬性，樹是地球的屬性，地球是宇宙的屬性。”(見上引書第34頁)但我們又必須分清樹葉是樹葉，樹是樹，地球是地球，宇宙是宇宙，不能不用固定的、凝結的、離散的概念來表述這個本來就是統一成一體的宇宙，否則混沌一片，什么事也做不成了。但是“云”不但會變成雨落下，也是和水、和地球連在一起的；“花”不但會結出果實，也和種籽、土壤、陽光連在一起的；“謊話”如果說者自己承認是“謊話”，就成為真話，而且象狄慈根所說，“一切謊言，都是真正的謊言……”(上引書第347頁)。又如“否定”這個概念，如硬把它同“肯定”這個概念一刀切開之后，也會變成一種“肯定”。“我的意見是否定的”，這不是一種“肯定”又是什么？黑格爾說過，有多少概念，就有多少“二律背反”(即矛盾)，就是說概念總是包含著正反兩個方面。連續與離散這對概念當然也是如此。即使三個蘋果，看來是離散的，但作為蘋果這一概念的體現，也有人認為是連續的。形式邏輯和數學既必須而又必然運用固定概念，因此自然會遇到一些難題，狄慈根仿佛預見到了本世紀初以來形式邏輯遇到的一些困難，也仿佛預見到了本世紀中葉以來關于形式邏輯和辯證邏輯之間關系的爭論似的。但這些話，是“漫談的漫談”，并不是莫紹揆先生書中說的。說錯了，與被介紹的書無關。許多有關形式邏輯和辯證法關系的問題，至今沒有論定。但莫先生的書，在理解形式邏輯的實質方面給了我們切實的幫助，則是無疑的。

言歸正傳。作為今天數理邏輯的基本部分之一的“布爾代數”(即邏輯代數)就是為了使傳統邏輯精密化，以適應數學的大發展而較早產生的。莫先生在《代數》中說：“從前人們都想把傳統邏輯改革，一直沒有很好的結果，都是由于人們注重內涵的緣故，從布爾開始強調外延，即把一概念的外延，即集合，作為專門研究的對象，不再拘泥于其內涵是否相同，于是才出現布爾代數，才使數理邏輯進入一個新的轉折點。”(見《代數》第6頁)

的確，布爾代數是一種新邏輯，布爾用一套符號(代表“并且”、“或者”、“非”等)和規則，把傳統邏輯全部捉住而且恢恢乎游刃有余；但布爾代數有一個大弱點，莫先生說，那就是：作為一個抽象數學系統來說，布爾代數是無可指責的，而作為邏輯系統而論，卻有一個致命的缺點，即實際上是“承認了邏輯推理以后再討論邏輯推理。”(《漫談》第2頁)這是一個“惡性循環”。

這個難題后來由弗雷格解決了。弗氏指出，可以不使用日常邏輯推理，只根據一些極簡單的、機械的規則就可以了。這就避免了上述“惡性循環”。但布爾代數只相當于邏輯演算中的命題演算部分，有許多數學上的推理仍不能靠這種邏輯來解決。弗雷格引進了量詞(“所有”、“有些”)，“量詞的引入和研究，是數理邏輯發展史上一個重大事件，其重要性遠遠超過布爾代數的創立。”(《初步》第18頁)至此，數理邏輯中所使用的符號體系已屬完備，它能把一切數學公式表達出來。弗雷格完備地發展了命題演算，又幾乎很完備地發展了謂詞演算。

在《初步》中，著者接著有條不紊地敘述了促成數理邏輯興起的數學基礎上來自兩個方面的一個原因。一方面是“非歐幾何帶來的問題”。非歐幾何的發展必然提出證明這種新幾何“不矛盾”的要求。問題結果歸結到實數論有無矛盾。這里，恐怕需要多少談談“實數”等數學概念。所謂“實數”是相對于“虛數”而言的。實數就是“有理數”和“無理數”的統稱。實數和虛數又統稱為“復數”。任何一個“有理數”總可以寫成兩個整數之比的形式，它或者是包括整數在內的有限小數，或者是“無限循環小數”，如化成小數，就是“無限循環”的，寫成小數，那就是0.142857142857……至于“無理數”卻是“無限不循環小數”，如圓周率π＝3.14159…＝1.414213……。在一條線段上(數學上叫做“數軸”)，有理數具有“稠密性”，即每一個有理數在這條線段上有一個確定的“有理點”，但“有理點”并沒有布滿整個數軸，還存在“空隙”。與無理數相對應的“無理點”則填滿了這些“空隙”。所以如果說有理數是“離散”的，“實數”就是“連續”的了。“實數集”又叫做“連續統”，這個“連續統”(一條線段)上有多少“點”(數學點)的問題，造成了極大的麻煩，至今沒有解決。以上是關于“實數”的粗略說明，至于“非歐幾何學”、微積分學中的“極限”概念等等，莫先生書中有一些說明，本文沒有篇幅來一一說明了。

另一方面，是存在了幾百年的微積分基礎理論問題。因為“極限論”是微積分理論的命根子，而命根子的命根子則是“有界單調的數列必有極限。”這個性質何從推導出來呢？狄德金和康托二人重新給實數下定義，純邏輯地、不依靠任何幾何直覺而把極限的上述性質或命題推導了出來。但是，結果同樣是“只要實數論沒有矛盾，微積分學也沒有矛盾”，和非歐幾何問題最后歸結到“實數論”一樣。

“狄德金把實數定義為有理數的分劃，實質上是有理數的(無窮)集合，更進一步可以說是自然數的(無窮)集合，康托則把實數定義為正規有理數數列，實質上仍可以化歸于自然數的(無窮)集合。實數論上的命題既可表示成自然數的集合的命題，如果實數論出現矛盾，勢必在自然數論和集合論上出現矛盾。”(《初步》第26頁)“實數論的相容性(即無矛盾性)已還原到自然數論和集合論的相容性，由于狄德金和弗雷格等人的研究，自然數論的相容性又還原到集合論的相容性。”(《初步》第31頁)因此，集合論的無矛盾性成了整個數學無矛盾性的支柱了。

但是，出乎意料，集合論中出現了矛盾，即悖論！

集合論怎么會自相矛盾的呢？

我們從《初步》中引兩條悖論看看，就明白了：

“我們試把一切集合分成兩類。自己為自己的元素者作為甲類，自己不是自己的元素的作為乙類。……現在我們要問：集合乙究竟是甲類還是乙類？如果它為甲類，……，‘乙類屬于甲類，即乙應屬于乙類，不可能；如果它為乙類，由‘乙屬于乙可得非‘乙屬于乙(因上邊規定乙類是自己不屬于自己的一類集合)，所以無論集合乙屬于甲類或屬于乙類，都會導致矛盾。這便是有名的羅素悖論……給數學界帶來了極大的震動。”(見《初步》第33—34頁，因排印困難，引文省去了符號，精確表述請閱原書。)

羅素為了把這個矛盾即悖論通俗化起見，曾說了一個有名的“理發師悖論”。中古時代某個小村只有一個理發師，他自己約定：只替不給自己刮胡子的人刮胡子，那么，他自己怎么辦？如果給自己刮了，那么，依他自己的約定：不該刮。反之，不給自己刮呢，依照約定，又須給自己刮。當然，有些人認為這不能算作悖論，因為可以沒有這樣的理發師，或者如莫先生書中說“該理發匠作了一個無法執行的約定”。不過，這個“悖論”原是用來作比方的。“羅素悖論”卻是大家都承認，“因為在數學中人們經常使用下列的過程：任給一個條件，滿足這個條件的一切個體必組成一個集合。只要承認這個過程，那么羅素悖論便會發生。如果不承認這個過程，數學中經常使用的方法便須更改，而這將導致巨大影響。為著解決這些真正的悖論，于是便大大促進數理邏輯的發展。”(《初步》第35頁)

所以，悖論是個十分重要的問題。莫先生在悖論研究方面曾作出重要貢獻。我國著名數學家徐利治教授最近在一篇和朱梧等四位數學家合著的論文《悖論與數學基礎問題》中指出：“在二十世紀的今天來討論和研究悖論問題，首先應該把十八世紀以前那種認為悖論只是茶余酒后的閑談的陳舊看法掃除，否則只能說明他對數學基礎、數理哲學的近代發展視而不見。”對于邏輯學來說，悖論的重要性我看也如此。

再說《初步》一書，此書到了第二章《數理邏輯的主要內容》，就象水到渠成一樣，可以清楚看到為什么目前數理邏輯會有這些部分的——即公理集合論、證明論、遞歸函數論、模型論。這四個部分都不是從天上掉下來的，而是與第一章中所述邏輯演算的演變史同時或接著有聯系地必然產生的。

公理集合論和證明論，著者說，和邏輯演算同時成熟，遞歸論和模型論則是邏輯演算本身成熟以后開始發展。著者接著上章關于集合論悖論的出現，說明了至此人們“只能”做兩件事：建立公理集合論和證明論。人們建立公理集合論，“完全是由于集合論悖論的出現。”但修改后的集合論，能保證無矛盾嗎？因此要搞證明論。希爾伯特提出一套規劃，企圖達到直接證明數學理論的無矛盾性。但希爾伯特規劃中有個大問題：從事數學理論的無矛盾性證明，而數學是否無矛盾，邏輯規律是否無矛盾都還在檢查之中，又怎能無條件使用這些工具呢？，一九三一年哥德爾證明了：“在理論A內部無法證明理論A的不矛盾性，因此，如果只承認理論A的一部分乃至全部，如果不多承認理論A以外的一些推理方式，是無法證明理論A的不矛盾性的。”(《漫談》第28頁)這有點象：“不見廬山真面目，只緣身在此山中。”希氏原來的“規劃”，“只能宣告失敗”。

人們想別的出路，有沒有別的新推理方法可容許使用呢？《初步》中說，結果之一便得出“能行性理論”，即“遞歸函數論”。但“能行性理論主要是在自然數論上獲得優良的結果，遞歸函數論……可以說是有關自然數的能行性理論”，“今天，在使用電子數字計算機時，必須根據近似計算把問題的答案……化成算術四則問題，然后才能叫電子數字計算機加以計算。”為什么呢？“電子數字計算機只能處理能行的問題，而目前只是對于自然數才有能行性理論”，對實數(例如)“則幾乎是沒有”。目前“沒有關于極限運算的能行性理論，因此電子數字計算機就不能直接處理數學分析的問題。”現在的電子計算機“只懂有理數而不懂得無理數。這就象一個人只有小學生水平一樣。”(《漫談》第32—33頁)那么，能行性問題，來源于證明論的研究，而仍有待于發展。魏爾說過：“……‘所有和‘有些二者的意義，包含著一個極深奧的、涉及數學核心的問題，即無限的秘密。”(見上引魏爾書第14頁)《漫談》一書第30頁上，就談到量詞(“所有”和“有些”)引起的有關能行和非能行的問題。模型論也是由證明論發展而來的。而“非標準模型”的發現，也許可說是一個“喜出望外”的收獲。

《初步》第三章《關于數理邏輯的三大派》，實際上也采取歷史的、客觀的敘述方法，著者對各派的評論都較公允，是很有意義的一章。另外，著者為一般讀者著想，同時也為了澄清數理邏輯和數學上一些基本概念的混亂，特別是在第四章中闡明了“記號與符號”、“變元”、“函數與約束詞”等等。記得大概又是那位愛談哲學的數學家赫·魏爾說過：“函數”是什么？誰也說不清楚。那么，莫先生在《初步》等書中是把函數概念解說得很清楚的。

總之，數理邏輯興起以來，為了證明實數論的無矛盾，卻出現了集合論的矛盾，證明論中又遇到矛盾(連最早的布爾代數作為邏輯系統而論的那個自己推導自己的“惡性循環”也許也可看作矛盾)。而這些矛盾，大多是好事，推動了這門學問的發展，而其發展又是如此出乎人們的意料，因此題目上用的“奇妙”一語，或許還能說得過去吧。

上述關于三本書的介紹實在只能說是“舉隅”或者漫談，因為這三本書中的內容是豐富多彩的，著者莫紹揆先生在用通俗的語言向讀者介紹這門“艱深”學問的同時，也提出了許多獨創的見解，例如他對“謂詞”和“集合”關系的看法、運用數理邏輯的觀點分析并整理《墨子·小取篇》的基本概念及其邏輯體系等等，這兒就不可能介紹了。

魯迅先生曾說過，學文的人，不妨也看點自然科學方面的書。而數理邏輯則是一門既是邏輯、又是數學的“邊緣科學”。現在介紹大家讀莫先生書：“開卷有益”。但是，我得聲明在先，有益是有益，象《初步》里的邏輯演算和《代數》一書的大部分篇幅中，是有著不少符號的，不過讀時細心些，也就不難領會，可是終不會象讀前些時候流行過的什么推理小說那樣“有趣”。它們是使人上進的書。

附記：《初步》一書第121頁上，倒數第12行：‘上海是兩個中國字再加上一對單引號；這句話中‘上海應更正為“上海”；下一行“上海”，則應更正為‘‘‘上海。莫先生對許多人說過，這個誤植會使上下文不通。現再代為更正如上。

(《數理邏輯初步》，上海人民出版社一九八○年八月第一版，0.45元；《數理邏輯漫談》，山東科技出版社一九八○年八月第一版，0.23元；《邏輯代數初步》，江蘇人民出版社一九八○年五月第一版，0.42元)