二元函數條件最值問題常見的求解方法

彭光焰

摘?要：求二元函數條件最值問題技巧性強、難度大、方法多變，二元函數條件最值問題蘊含著豐富的數學思想和方法.本文通過一道聯考題介紹了求二元函數條件最值的求法.

關鍵詞：消元；基本不等式；柯西不等式；判別式；導數

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0040-05

二元條件最值問題是高考、自主招生、強基、各類競賽的熱點.常考常新，形式各樣，變化多端，難度較大，選拔性高，區分度強，倍受關注.代數變換、合理轉化、換元消元、配方化簡等是常見的解題技巧［1］.本文通過一道高考題對處理二元條件最值問題的常用求解方法進行歸納總結，以期幫助學生開闊解題思路，鍛煉學生靈活應用知識分析和解決問題的能力，最終提升學生數學學科核心素養.

1 題目呈現

題目?（2022年10月8日湖北高三金太陽百校聯考第16題）已知正數x，y滿足3x+4y=4，則y（1xy+3+12xy+1）的最小值是.

2 解法探討

視角1?基本不等式法.

解法1?（消去y+基本不等式）

由3x+4y=4，得y=44-3x（0

則y（1xy+3+12xy+1）=44-3x·［14x/（4-3x）+3+18x/（4-3x）+1］

=4（112-5x+14+5x）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

=14（2+12-5x4+5x+4+5x12-5x）

≥14（2+212-5x4+5x·4+5x12-5x）=1，

當且僅當12-5x=4+5x，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法2?（消去x+基本不等式）

由3x+4y=4，得3xy=4y-4（y>1）.

由y（1xy+3+12xy+1）=y（33xy+9+36xy+3）

=y（34y+5+38y-5）

=112［（4y+5）+（8y-5）］（34y+5+38y-5）

=14（2+4y+58y-5+8y-54y+5）

≥14（2+24y+58y-5·8y-54y+5）=1，

當且僅當4y+58y-5=8y-54y+5，即y=52，x=45時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法3?（條件變形+基本不等式）

由3x+4y=4，得3xy+4=4y.

y（1xy+3+12xy+1）=14·4y（1xy+3+12xy+1）

=14（3xy+4）（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

=14［（2+2xy+1xy+3+xy+32xy+1）

≥14［（2+22xy+1xy+3·xy+32xy+1）=1，

當且僅當（2xy+1）2=（xy+3）2，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法4?（結論變形+條件變形+基本不等式）因為y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1=1x+3/y+12x+1/y，

x+3y+2x+1y=3x+4y=4，14［（x+3y）+（2x+1y）］=1，

所以y（1xy+3+12xy+1）=14（x+3y+2x+1y）（1x+3/y+12x+1/y）

=14（2+2x+1/yx+3/y+x+3/y2x+1/y）

≥14（2+22x+1/yx+3/y·x+3/y2x+1/y）=1，

當且僅當x+3y=2x+1y，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法5?（雙換元+基本不等式）

設xy+3=a（a>3），2xy+1=b（b>1），則3xy+4=a+b.

又由3x+4y=4，得

3xy+4=4y，

4y=a+b，

y=a+b4.

y（1xy+3+12xy+1）=a+b4（1a+1b）

=14（2+ba+ab）≥14（2+2ba·ab）=1，

當且僅當a=b，即xy+3=2xy+1，xy=2.

又3x+4y=4，所以x=45，y=52時，等號成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法6?（雙換元+消元+基本不等式）

設xy=a，y=b（a>0，b>0），由3x+4y=4，得3a+4=4b.

y（1xy+3+12xy+1）=b（1a+3+12a+1）

=14·4b·（1a+3+12a+1）

=14（3a+4）（1a+3+12a+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

=14（2+a+32a+1+2a+1a+3）

≥14（2+2a+32a+1·2a+1a+3）

=1，

當且僅當a+3=2a+1，a=2時等號成立，即x=45，y=52時，等號成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角2?判別式法.

解法7?（消去y+判別式）

由解法1?令t=112-5x+14+5x（00.

t=16（12-5x）（4+5x）=16-25x2+40x+48，

25tx2-40tx+16-48t=0，t>0，

所以Δ=（40t）2-4·25t·（16-48t）≥0.

即4t2-t≥0，t≤0（舍去），t≥14.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法8 ?（消去x+判別式）

由解法2，得

y（1xy+3+12xy+1）=y（34y+5+38y-5）=36y232y2+20y-25，

令t=y232y2+20y-25（y>1），

由t=y232y2+20y-25（y>1），得

（32t-1）y2+20ty-25t=0，

當32t-1≠0時，Δ=400t2+100t（32t-1）≥0，

36t2-t≥0時，t≤0（舍去），t≥136且t≠132.

當32t-1=0時，t=132，y=54>1，符合題意.

故t≥136，y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角3?柯西不等式法.

解法9?（消去y+柯西不等式）

由解法1 ，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

≥14（12-5x·112-5x+4+5x·14+5x）2=1，

當且僅當=12-5x1/（12-5x）=4+5x1/（4+5x），

即x=45，y=52時，等號成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法10?（消去x+柯西不等式）

由解法2，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（4y+5）+（8y-5）］（14y+5+18y-5）

≥14（4y+5·14y+5+8y-5·18y-5）2

當且僅當4y+51/（4y+5）=8y-51/（8y-5），

即x=45，y=52時，等號成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法11?（條件變形+柯西不等式）

由解法3，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

≥14（xy+3·1xy+3+2xy+1·12xy+1）2=1，

當且僅當xy+31/（xy+3）=2xy+11/（2xy+1），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法12?（結論變形+條件變形+柯西不等式）

由解法4 ，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（x+3y）+（2x+1y）］（1x+3/y+12x+1/y）

≥14（x+3y·1x+3/y+2x+1y·12x+1/y）2=1，

當且僅當x+3/y1/（x+3/y）=2x+1/y1/（2x+1/y），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法13?（雙換元+柯西不等式）

由解法5，得

y（1xy+3+12xy+1）=14（a+b）（1a+1b）

≥14（a·1a+b·1b）2=1，

當且僅當a1/a=b1/b，即a=b，xy+3=2xy+1，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法14?（雙換元+消元+柯西不等式）

由解法6，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

≥14（a+3·1a+3）+2a+1·12a+1）2=1

當且僅當a+31/a+3=2a+11/2a+1，即a=2，xy=2，又3x+4y=4，所以x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角4?導數法.

解法15?（消去y+導數）

由解法7 ，令t=112-5x+14+5x（0

t=16-25x2+40x+48，

t′=-16（-50x+40）（-25x2+40x+48）2

=160（5x-4）（-25x2+40x+48）2.

當00.

所以當x=45時，它有最小值，t的最小值是14.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法16??（消去x+導數）

由解法8 ，得 t=y232y2+20y-25（y>1），

t′=2y（32y2+20y-25）-y2（64y+20）（32y2+20y-25）2

=10y（2y-5）（32y2+20y-25）2，

當1

當y>52時，t′>0.

所以y=52時，t的最小值是136，即y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角5?權方和不等式法.

解法17?（權方和不等式）

y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1

=12x+3/y+122x+1/y

≥（1+1）23x+4/y=44=1，

當且僅當1x+3/y=12x+1/y3x+4y=4，即x=45y=52時取等號.

即y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角6?拉格朗日乘數法.

解法18?（拉格朗日乘數法）

令F（x，y）=y（1xy+3+12xy+1）+λ（3x+4y-4），

F′x=-y2（xy+3）2-2y2（2xy+1）2+3λ，①

F′y=3（xy+3）2+1（2xy+1）2-4λy2，②

3x+4y=4，③

由①和②聯立求解得xy=2，④

由③和④聯立求解得x=45，y=52.

故當x=45，y=52時，y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

3 結束語

從多角度探究一道聯考試題，是培養學生能力的重要方式，也是實現數學核心素養的一個重要的載體.多角度探究一道試題有利于學生由點到面地掌握有關知識，有利于學生抓住問題的本質、求解方法以及蘊含的結論，最終實現做一題得一類題、做一題掌握更多的知識.思考角度不同，方法就不相同，所涉及的知識也不同，解題的難易程度也不盡相同，對培養學生發散思維能力非常重要，它有利于培養學生的創新意識和提升學生數學核心素養.另外，本文中柯西不等式、權方和不等式、拉格朗日乘數法并不是高考要求考查的內容.但是，作為整個數學知識體系的一部分，對于學有余力的學生，進行一些拓展，使其知識面更加全面和完整是非常有必要的［2］.

參考文獻：

［1］ 楊華，邵春成.探索發現 遷移拓展［J］.數學通訊，2023（15）：47-49.

［2］宋秋林，何拓程.談談多變元問題的思考策略：從2022年一道高考題的解法說起［J］.高中數理化，2022（21）：40-42.

［責任編輯：李?璟］