精選課堂例題，巧滲數學思想

邊潔

【摘要】數學思想是數學學科的靈魂，是數學教學的精髓，是數學學習的最高要求.數軸是初中學生初次接觸到的將“數”與“形”完美結合起來的數學圖形，是初中數學教學中的一個核心概念.在實踐教學中，教師可以通過合適的例題，巧妙滲透數學思想，提高學生的數學思維素養.

【關鍵詞】初中數學；數軸；數形轉化

1 問題背景

初中數學蘊含的基本數學思想并不像概念、公式、定理等會明明白白地寫在教科書上，而是學生在學習的過程中，教師以知識為載體，巧妙地滲透.數軸作為中學數學中數形結合的第一個實例，它的出現不僅直觀地體現了“直線上的點”與“有理數和無理數”之間的一一對應關系，還揭示了“數”與“形”之間的內在聯系——可互相轉化，使“數”的諸多性質（大小、正負等）與衍生概念（絕對值、相反數等）可以通過數軸上的點的位置關系得到生動形象的說明，也為學生后續學習有理數的運算、類比在數軸上表示一個數、嘗試表示空間中一個點的位置（平面直角坐標系）等做好了鋪墊.在本節課的教學設計中，教師不僅要引領學生探究數軸生成的前因后果，更要在運用數軸的知識解決問題時帶領學生感悟相關的數學思想，幫助學生完善自己的數學素養.

2 教學設計

2.1 創設情景，類比生成

（出示PPT）在數字還沒有產生之前，古代部落的人們會在一根長繩上打上繩結用來記錄獵物的數量.他們會在長繩上先系一根紅繩表示什么都沒有；部落里每捕獲一只獵物，就會在紅繩的一邊打一個結；部落里每吃掉一只獵物就會在紅繩的另一邊打一個結.借助此繩，可以通過數繩結記錄一段時間內該部落獵物的捕獲與消耗數量和速度．這便是“繩結計數法”.

師：在前兩節課的學習中，我們已經掌握了用正負數表示生活中具有相反意義的量.在這個故事中，你看到具有相反意義的量了嗎？

生：捕獲獵物和吃掉獵物.

師：你能將其用正負數表示嗎？

生：捕獲獵物記為正，則吃掉獵物記為負.

師：請你們幫助這個部落的人，利用我們已經擁有的“數字”，完善他們的“繩結計數法”.

（引導學生在每個繩結下面標上相應的數字）

師：同學們，如果你現在成為了這個部落里的“記錄員”，你可以將這個方法簡潔化嗎？

生：畫一條直線表示長繩；在繩上點一點表示“紅繩”，記作0；在這個點右邊表示捕獲，記作1，2，3，……，左邊表示吃掉，記作－1，－2，－3，……．

師：基于我們這位同學的研究成果，0稱為“原點”，表示什么都沒有；一般的，我們會規定向右為正，在直線的右端標一個箭頭表示“正方向”；相鄰繩結之間，也就是相鄰兩個刻度之間的長度稱為“單位長度”，要保持一致.這樣一條，規定了原點、正方向和單位長度的直線就稱為“數軸”.

設計意圖 在實際教學中，我們可以從更貼合學生已有的知識角度去為他們編造出一個更容易理解的“數軸的來源”，從而去為初二學習平面直角坐標系埋下伏筆.結合前兩節課剛剛學習過的，可以用正負數表示生活中具有相反意義的量，我為他們創設的情境是：繩結計數法，生動有趣，有益于引發學生的學習熱情.課堂活動的核心，就是讓學生參與教學，尤其是思維的參與.教師給出繩結計數的情境，學生類比生成數軸的概念，印象比教師直接給出概念來得更深刻.在概念的講解中教師要注意學生對數軸三要素“原點”“正方向”“單位長度”的準確理解.

2.2 概念應用，數形轉化

例1 如圖1，寫出數軸上點A、B、C、D表示的數.

設計意圖 課堂中學生的反應不能作為絕對的學習效果反饋，所以教師在備課時除了教學目標、教學重難點，還要關注易錯點.在這個例題中點D表示的數如何分析得出，需要教師采取適當的追問：為什么是一個負數？為什么是負的0.5而不是負的1.5？其中第二個問題是一個難點，可以從整數點A輔助分析：－3，在原點左側，到原點的距離為3個單位長度，即從與原點的相對位置關系和到原點的距離兩個角度剖析，這樣學生也就能更為準確地分析點D表示的數字.此時教師可以再隨機指一些點讓學生說出其表示的數，引導學生感悟數軸上的每一個點都代表一個數字，體會由“形”到“數”的轉化思想.

例2 畫數軸，把下列各數在數軸上表示出來.

0，－4，2，－1.5，43，－2，－213.

設計意圖 這個例題指向畫數軸和在數軸上表示有理數.

（1）在很多的教學設計中會有單獨的一個例題：“下列數軸的畫法正確嗎？為什么？”在實際教學中，雖然學生能跟著大部隊說出數軸畫法的錯誤之處，但并不會以此為戒，因為在沒犯錯之前，每個人都會覺得自己不會犯錯.所以筆者舍棄了那個例題.在學生了解了數軸的基本概念和教師的板書畫法示范之后，親自動手畫一畫數軸，動手體驗，學以致用.在學生畫數軸的過程中，教師可以走到學生中去，觀察尋找錯誤畫法的素材，投影展示，并讓其他同學糾錯.課堂上生成的問題盡可能在課堂上解決，課堂活動也在師生互動的基礎上融入了生生互動，效果要比憑空出現的案例好得多.

（2）在學生能夠準確畫出數軸的情況下，再將所給的有理數在數軸上表示出來.這個題目中涵蓋了各種不同形式的有理數：整數、正分數、負分數.其中整數和正分數，學生上手很容易，但負分數的準確表示還需要教師輔以必要的引導.在例1的鋪墊和講解下，在找表示－1.5的點時，可以拆成兩部分理解：“－”表示在原點的左側，“1.5”表示距離原點1.5個單位.－213也是一樣的方法.在這個過程中不僅要引導學生感悟每一個有理數都可以用數軸上的點來表示，體會由“數”到“形”的轉化思想；同時通過細節分析，提高學生分析問題的能力，也為后面學習絕對值和相反數做鋪墊，起到承上啟下的作用.

2.3 合作探究，分類討論

合作探究 如圖2所示，將圓放置在原點處，從原點處剪開，平鋪在數軸上.

問題1 如圖3，若圓的周長為1個單位長度，則剪開的圓的另一端點落至何處？

設計意圖 將數軸與其他幾何圖形結合，有利于培養學生的抽象能力和幾何直觀素養.學生很容易說出1，教師通過引導學生注意題目并未說明平鋪的方向，從而啟發學生認識到有兩種情況：可能從原點向右平鋪，也可能向左平鋪，這便是分類討論思想.后面學習絕對值的代數意義也需要從正數、負數、0三個角度分類討論，在此處便可以讓學生提前感受分類討論思想的奇妙之處.

問題2 若圓的直徑為1個單位長度，則剪開的圓的另一端點落至何處？

問題3 所以無理數可以在數軸上表示嗎？

問題4 那數軸上的點一定表示一個有理數嗎？

設計意圖 有了問題1的鋪墊，這個問題的兩個關鍵點便迎刃而解了：圓的周長；注意分類.“無理數”本身是很抽象的內容，而π作為無理數的典型代表，可以借助圓在數軸上的運動呈現出來，把抽象的無理數直觀地展現在數軸上，有利于學生更深刻地感知數、認識數、理解數，建立良好的數感，從而理解無理數可以用數軸上的點來表示；反之，數軸上的每一個點，可能表示一個有理數，也可能表示一個無理數.在這個環節中，注意讓學生充分觀察與思考、討論與探究，激發學生主動探索的主觀能動性，培養學生運用所學數學知識解決問題的能力，加深對無理數的認識.

問題5 如圖4，若周長為1個單位長度的圓放置在數軸上表示數1的點處，并將圓從此處剪開平鋪在數軸上，則剪開的圓的另一端點落至何處？

設計意圖 進一步強化學生的分類討論意識.去除背景，這個問題也就是：數軸上到表示數1的點距離1個單位長度的數為？或者將數軸上表示數1的點平移1個單位長度，表示的數為？在學完絕對值后，將這個問題符號化，也就是：若｜x－1｜＝1，求x的值……這些都是同一個問題在不同情境下的不同呈現，學生的理解角度也會隨著知識的深入而變化.在此處學生可以借助圖形理解題意，同時培養了學生數形結合和分類討論的思想意識.爭取使學生做到胸中有圖、見數想圖，提高學生靈活借助幾何圖形解決代數問題的能力.課堂中一些小小的變式往往會有點睛之筆的效果，更利于學生發散性思維的培養.

2.4 師生小結，深度生成

說說你對數軸的認識.

設計意圖 引導學生完善思維導圖，直觀地將本節課的知識點呈現出來，不僅考察學生對本節課的掌握情況，更是對學生歸納概括能力的提升.

2.5 知識運用，拓展延伸

如圖6，在數軸上A點所表示的數為π.

（1）若A、B兩點到原點的距離相等，那么點B所表示的數是多少？

（2）寫出A、B兩點之間的所有整數.

（3）如果有一個點到A點的距離為2，那么這個點所表示的數是多少？

設計意圖 緊扣本節課的教學目標：會正確畫出數軸；會用數軸上的點表示有理數，能說出數軸上（表示有理數）的點所表示的數；知道有理數和無理數都可以用數軸上的點表示，數軸上的任意一點都表示一個有理數或無理數.

3 結語

著名的數學教育家米山國藏先生在《數學的精神、思想和方法》中明確提出：學生在初中、高中等所接受的數學知識，因離開學校進入社會沒有機會應用，這種作為知識的數學通常出校門后不到一兩年就會忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思維方式、探究問題的方式、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地地發揮著作用.雖然我們并不會真的借助方程、函數去買菜，但學習數學給我們帶來的轉化思想——換位思考、分類思想——全面周全、數形結合——資源的充分利用，其實滲透在生活中的角角落落.生活中處處有數學，數學才來源于生活.為什么學習數學？因為我們觸手可及，因為數學妙不可言.能在學習數學知識的背后，讓學生的數學思想得到更本質的升華，是我們課堂教學的最高境界.

參考文獻：

［1］何萍.一次難忘的教學經歷——“數軸”一課的三次教學及其反[J].中學數學教學參考，2011（08）：5-7.

［2］汪曉勤，栗小妮.數學史與初中數學教學：理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學出版社，2019：341-357.

［3］龐彥福.初中數學有效教學[M].北京：北京師范大學出版社，2015：130-131.