談談進行三角恒等變換的兩個技巧

在解答三角函數求值問題、三角函數最值問題，化簡三角函數式時，我們通常要先將三角函數式進行恒等變換，以將函數式化簡.那么，進行三角恒等變換有哪些技巧呢？下面結合實例作詳細的介紹.

一、常數代換

我們知道，有些特殊角的三角函數值為常數，如 等.在進行三角恒等變換時，我們可以將一些常數用某個角的三角函數替換，通過常數代換，配湊出二倍角、半角、兩角的和、兩角的差等，便可以直接根據二倍角公式、兩角和差公式、輔助角公式等來化簡三角函數式.

例1.已知 一 ，求 的值.

解：將 兩邊平方，得

則 ，

所以

又 ，則 sinα+cosαgt;0 ，故 cos2α cos2α-sin2α

可得T √2sin（α- sina-cosa）4 2√14

=-√2（cosa+sina）2

解答本題，需根據 sin²α+cos²α=1 ，將常數\"1\"用sin²α+cos²α 替換，得出 1+2sinαcosα=sin²α+cos²α+ sinα+cosα= 便可通過等量代換化簡函數式.

二、拆角、補角

有些三角函數式涉及多個角，此時往往需通過拆角、補角來配湊出目標式，從而化簡函數式.在解題時，要明確各個角之間的差異，并通過拆角、補角來建立這些 等.常見的補角的方式有： 2α=

例2.已知0lt;βlt; T 4

求 sin（α+β） 的值解：因為 所以 故sin 因為 所以

為了建立起已知角與未知角之間的聯系，需根據誘導公式將正弦函數式化為余弦函數式，將 α+β 加上 湊出 ，并將其拆成兩個角 6、4-α，進而根據兩角差的余弦公式求得問題的答案.

例3.已知 α 為銳角，若 求 的值.

解：因為 α 為銳角，且 ，

所以 0

我們將角 拆成2個半角 ，即可根據二倍角公式求得問題的答案.在拆角、補角的過程中，要關注角的取值范圍，以確定其正弦函數式、余弦函數式、正切函數式的符號.

上述兩個技巧都是進行三角恒等變換的重要技巧.無論運用哪種技巧進行三角恒等變換，都要注意以下兩點：（1）明確已知關系式與目標式中角、函數名稱、次數之間的差異；（2）選用合適的三角函數基本公式進行恒等變換

（作者單位：云南省曲靖市麒麟區第十三中學）