解答函數零點個數問題的三種途徑

函數零點的個數問題側重于考查函數零點的定義、零點存在性定理，以及函數的性質、圖象.下面結合實例，談一談解答函數零點個數問題的三種途徑，供讀者參考.

一、利用零點存在性定理

在解答函數零點的個數問題時，我們經常要用到零點存在性定理.首先根據函數的解析式和已知條件確定函數的定義域，然后判斷出函數在定義域內的單調性，再將區間的端點值代人函數的解析式，判斷出兩個函數值的乘積的符號.若其乘積小于0，則可以直接根據零點存在性定理，來判定函數在該區間上至少存在1個零點.

例1.請判斷函數 在 π）上零點的個數.

解： 可得 e^x?sinx-x+1=0 令藍 （則 所以 g^′′(x)=2cosx?e^x<0 則， g^′(x) 在 上單調遞減.（2 故存在 使樂 g^′(x₀)=0 ，則時 g(x) 在閣 上單調遞增，在 (x₀，π) 上單調遞減：因為 所以 g(x) 雞在園 上有且僅有1個零點。我們由 g^′′(x)=2cosx?e^x<0 可判斷出函數 g^′(x) 在 上單調遞減，然后由 -e^π-1<0 ，可知 ，便可根據零點存在性定理判定函數在 上只有1個零點.值得注意的是，根據零點存在性定理只能判斷零點的存在性，要確定函數零點的個數，還需研究函數的單調性和圖象.

二、數形結合

有時我們根據函數的解析式很容易畫出函數的圖象，此時可以根據函數零點的定義，將問題轉化為求函數圖象與 x 軸的交點的個數，通過觀察圖象的交點的個數來判斷出函數零點的個數.在畫圖時，通常要通過平移、伸縮、翻折等變換，來畫出準確的函數圖象.

例2.已知函數 若函數 g(x)= f(x)-x+a 有2個零點，求實數 a 的取值范圍.

解：如圖所示，作出函數 f(x-1），x>0，以及h(x)=x-a 的圖象.移動h(x)=x-a 可發現，當 α< 1時，兩個函數圖象有2個交點，此時 g(x)=f(x)- x+a 有2個零點.

我們根據零點的定義，令 ，得出 f(x)=x-a ，然后畫出函數 f(x) 以及 h(x)=x-a 的圖象，即可通過觀察圖象找到兩個函數圖象有2個交點的情形，從而求得 a 的取值范圍.

三、運用判別式法

根據零點的定義可知，二次函數零點的個數問題可轉化為對應的一元二次方程的根的個數問題.只要根據判別式 Δ 與0的大小關系確定了方程的根的個數，即可確定函數零點的個數.一般地，當 Δ>0 時，函數有2個不同零點；當 Δ=0 時，函數有1個零點；當 Δ<0 時，函數無零點.

例3.求函數 f(x)=x²+2ax+a²+a-1 零點的個數.

解：令 f(x)=x²+2ax+a²+a-1=0 ，則 Δ=b² 一4ac=4-4a. （20① 當 Δ>0 時， ?4-4a>0 ，解得 a<1 ，方程有2個實根，此時函數 f(x) 有2個不同的零點.② 當 Δ=0 時， 4-4a=0 ，解得 a=1 ，方程有1個實根，此時函數 f(x) 有1個零點.③ 當 Δ<0 時， 4-4a<0 ，解得 a>1 ，方程沒有實根，此時函數 f(x) 沒有零點.

值得注意的是，判別式只適用于解答二次函數零點的個數問題.

上述三種方法都是解答函數零點的個數問題的重要方法，其特點和適用情形均有所不同，同學們需注意區分.對于一些較為復雜的題目，有時需同時運用兩種或兩種以上的方法，才能順利獲得問題的答案.

（作者單位：湖北省十堰市鄖西縣第一中學）