靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，高效解答含參三次函數(shù)問題

常見的含參三次函數(shù)問題有：求含參三次函數(shù)的零點(diǎn)、極值、最值，判斷三次函數(shù)的單調(diào)性等.含參三次函數(shù)問題一般較為復(fù)雜.通常，我們不僅要靈活運(yùn)用三次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，極值等，還要借助數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想來解題.那么，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來解答含參三次函數(shù)問題呢？下面舉例加以說明.

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

在解答含參三次函數(shù)問題時(shí)，我們通常要先對函數(shù)求導(dǎo)，以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，畫出函數(shù)的大致圖象；然后觀察并研究圖象，明確函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、對稱軸等，了解函數(shù)圖象的大致變化趨勢；再結(jié)合圖象找到滿足題意的情形，據(jù)此建立代數(shù)關(guān)系式，從而求得問題的答案.

例1.已知函數(shù) 有2個(gè)零點(diǎn).若方程 f^′(f(x))=0 有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解：對函數(shù) 求導(dǎo)，可得 f^′(x)=x²+2ax-3a²(a>0)， 由 f^′(x)=0 可得 x=a 或 -3a ，由 f^′(x)>0 可得 f(x) 在 (-∞，-3a)，(a+∞) 上單調(diào)遞增，由 f^′(x)<0 可得在 (-3a，a) 上單調(diào)遞減.要使 f(x) 有2個(gè)零點(diǎn)，且方程 f^′(f(x))=0 有4個(gè)實(shí)數(shù)根，需使 f(x)=a 和 f(x)=-3a 共有4個(gè)實(shí)數(shù)根，故 或 或 （20當(dāng) f(a)=0 時(shí)， ，作出函數(shù) f(x) 的大致圖象，如圖1所示，則 0 a，解得a>V6

圖1

圖2

當(dāng) f(-3a)=0 時(shí)， b=-9a³ ，作出函數(shù) f(x) 的大致圖象，如圖2所示，

則 f(a)<-3a<0 ，即 ，解

綜上所述，當(dāng) 時(shí)，方程 f^′(f(x))=0 有4個(gè)實(shí) 數(shù)根.

解答本題，需先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)；然后畫出函數(shù)的大致圖象；再觀察圖象，研究方程的根的分布情況，找到方程 f^′(f(x))=0 有4個(gè)實(shí)數(shù)根的情形，據(jù)此建立不等式，進(jìn)而求得問題的答案.

二、運(yùn)用分類討論思想

在解答含參函數(shù)問題時(shí)，我們通常要運(yùn)用分類討論思想，對參數(shù)或含有參數(shù)的式子進(jìn)行分類討論.首先要對函數(shù)求導(dǎo)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；然后用零點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為兩個(gè)或三個(gè)子區(qū)間，并在各個(gè)子區(qū)間上分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，據(jù)此判斷出函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定函數(shù)的極值、最值.

例2.已知函數(shù) f(x)=ax³-12x²+1 ，試判斷函數(shù)f(x) 的單調(diào)性.

解：因?yàn)?f(x)=ax³-12x²+1 ，所以 f^′(x)=3ax²- 24x=3x(ax-8)

當(dāng) a=0 時(shí)， f(x) 在 (-∞，0) 上單調(diào)遞增，在 (0，+∞) 上單調(diào)遞減.

當(dāng) a>0 時(shí)，若 ，則 f^′(x)<0 ；若 x∈(-∞，0) ，則 f^′(x)>0

所以 f(x) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.

當(dāng) a<0 時(shí)，若 ，則 f^′(x)<0 ；若 ，則 f^′(x)>0

所以 f(x) 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.

在分類時(shí)要考慮參數(shù)的所有可能的取值，做到不重復(fù)、不遺漏任何情形，同時(shí)要注意不同類別之間的區(qū)別和聯(lián)系，避免混淆，

雖然含參三次函數(shù)問題的難度較大，但是我們只要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，借助圖形來分析、研究問題，或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為幾個(gè)子問題，就能化難為易，輕松解題.

（作者單位：甘肅省榆中師范學(xué)校附設(shè)高中）