智能約束層阻尼結構動力學建模及振動主動控制研究

黃志誠, 黃 帆, 王興國, 褚福磊

(1. 景德鎮陶瓷大學 機電學院,江西 景德鎮 333403;2. 清華大學 機械工程系,北京 100084)

近年來,智能約束層阻尼(intelligent constrained layer damped,ICLD)結構是在傳統被動約束層阻尼基礎上結合壓電材料的機電轉換特性以及控制理論發展起來的。部分覆蓋壓電層和黏彈性層ICLD懸臂梁結構如圖1所示。結構發生振動時,壓電傳感層自動拾取結構振動信號并通過反饋控制使壓電約束層發生相應形變以主動調節黏彈性材料的剪切變形,實現結構振動的智能控制[1-5]。ICLD因結構簡單,附加質量低、可控頻帶寬、控制效果好等優點,廣泛應用于車輛、航空航天等領域[6-8]。

傳統被動約束層阻尼通過加劇黏彈性材料剪切變形的方式增加振動能量的耗散以達到抑制結構振動的目的。Baz等[9]、Lesieutre等[10]、Shi等[11]分別使用不同物理模型表征黏彈性材料阻尼特性。王攀等[12]的研究表明:被動約束層阻尼僅對結構的高頻振動有較好抑制效果,但對結構低頻振動的控制效果不理想。之后,學者陸續投入到對結構低頻振動控制效果較好的主動約束層阻尼技術研究中,Swigert等[13]最先將壓電材料引入到振動控制系統中,率先實現了結構振動主動控制。眾多學者的研究證明:主動約束層阻尼能夠在較寬頻率范圍內抑制結構的振動,但是目前主動約束層阻尼結構的建模方法會引起結構模型的自由度過高,不利于后續結構控制器的設計。因此結構模型需要降階處理,一方面物理空間模型降階方法雖然能保留結構模型所有的物理信息,但是在物理空間降階后的結構模型自由度仍然過高且該方法并不能改變結構模型的可控制性和可觀測性[14-15];另一方面,狀態空間降階方法雖然能改變結構模型的可控制性和可觀測性,但是結構模型的物理意義不明確。聯合降階是目前處理高維系統的主要手段[16],即先將高維ICLD結構在物理空間降階,然后在狀態空間進行降階處理,此方法既可以保留高維模型的低階物理信息,又可以改變系統的控制性和觀測性。

基于以上問題,本文提出不同的ICLD結構建模策略,即先采用有限元法對ICLD懸臂梁結構劃分的單元進行組集,然后再結合描述黏彈性材料阻尼特性的GHM模型推導出ICLD懸臂梁結構的動力學模型,此方法可以在保證結構模型正確的基礎上初步降低系統自由度。其次對高維系統進行聯合降階,即先在物理空間縮聚結構模型的物理自由度,然后在狀態空間構造相應的模態空間,實現ICLD結構非比例阻尼的解耦和模態截斷工作。然后,比較分析壓電片鋪設位置對ICLD結構振動控制效果和控制成本的影響。最后,以含有噪聲的激勵信號為輸入再次驗證簡化結構模型的普遍適用性。基于以上幾點得到了一些對懸臂梁振動控制研究有一定借鑒意義的結論。

1 有限元法建模

1.1 壓電材料特性分析

壓電材料因其同時具有彈性體和介電體的雙重屬性,所以壓電材料既具有彈性特征還具有壓電特征。當壓電材料表面受到外力作用時,壓電材料兩端因外力作用而產生電位差的現象稱為正向壓電效應,因此壓電材料可以作為傳感器使用;當壓電材料兩端受到電壓作用時,壓電材料因電壓作用而產生形變的現象稱為逆向壓電效應,因此壓電材料也可以作為作動器使用。

壓電材料在外力和電場作用下的壓電方程為[17]

(1)

式中: 方程分別為壓電材料的逆向壓電效應和正向壓電效應;ε,σ,D,E,d分別為應變、應力、電位移、電場和壓電應變常數。

1.2 基本假設

圖1中:①為基梁和壓電層均滿足Euler-Bernoulli梁理論; ②為基梁、黏彈性層和壓電層有相同的橫向位移;③為各層轉動慣量的影響忽略不計;④為僅考慮黏彈性層剪切變形提供的結構阻尼;⑤為各層之間是理想粘貼,層間無相對滑動;⑥為各層均符合線性理論。

1.3 單元運動耦合關系

ICLD懸臂梁變形前后的位移關系圖,如圖2所示。

圖2 ICLD懸臂梁變形位移關系

結合ICLD懸臂梁幾何變形關系以及一階剪切變形原理[18],推導出壓電傳感層、黏彈性層x方向位移和黏彈性層剪切應變的表達式為

(2)

(3)

(4)

在前述假設基礎上建立的ICLD梁單元模型,如圖3所示。

圖3 ICLD梁單元

該一維兩節點ICLD梁單元的長為le。每個節點有四個自由度:梁單元的橫向位移、梁單元節點的轉角、基梁和壓電約束層的橫向位移,則8自由度ICLD梁單元的位移矢量表示為

{Δe}={wi,θi,ubi,uai,wj,θj,ubj,uaj}T

(5)

單元內任意一點的位移可以由單元8自由度位移形函數通過插值唯一確定。

(6)

式中,形函數矩陣N具體由梁單元橫向位移Nw、梁單元節點轉角Ne、基梁Nb和壓電約束層橫向位移Np組成。懸臂梁單元位移分量可用形函數表示為

w=[Nw]{Δe},θ=[Nθ]{Δe}

(7)

ub=Nb{Δe},ua=Na{Δe}

(8)

于是式(2)中傳感層縱向位移、黏彈性層縱向位移和剪切應變表示為

us=Ns{Δe},uv=Nv{Δe},β=Nβ{Δe}

(9)

式中,Ns,Nv,Nβ的形函數插值向量分別為

(10)

(11)

(12)

1.4 能量表達式

ICLD梁單元的能量分為動能和勢能,單元各層因縱向拉伸和橫向彎曲變形產生的總動能為

(13)

(14)

單元各層因縱向拉伸和橫向彎曲變形產生的總勢能為

(15)

(16)

1.5 ICLD梁動力學方程

結合Hamilton變分原理推導出ICLD懸臂梁單元的動力學方程

(17)

按照常規有限元組集方法將單元質量矩陣、單元剪切剛度矩陣和單元彈性剛度矩陣組裝并考慮邊界約束條件得到ICLD懸臂梁結構的總動力學方程

(18)

1.6 引入GHM模型的ICLD懸臂梁動力學方程

本文采用GHM模型表征黏彈性材料的頻變阻尼特性。GHM模型采用一系列微振子項的代數和來描述黏彈性材料的復剪切模量函數。微振子項通過引入耗散坐標與空間坐標耦合的方式模擬黏彈性材料應力應變行為。在拉普拉斯域中,黏彈性材料的復剪切模量函數表示為[19]

(19)

式中:G∞為正實數,表示松弛函數的穩態值;ai,ξi,ωi分別為第i階微振子的參數,它們決定了復剪切模量函數在拉普拉斯域中形狀,即能夠擬合黏彈性材料復剪切模量函數曲線。

將式(18)ICLD結構動力學方程等效為一個整體單元,結合GHM模型在拉氏作用域進行拉式變換整理得到

(20)

引入耗散坐標與系統空間坐標耦合得到

(21)

結合式(20)和式(21)并對其在拉式作用域進行拉式反變換,整理得到ICLD懸臂梁結構在時域的總動力學方程

(22)

系統引入GHM模型后ICLD懸臂梁結構的總質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、壓電控制力、外部擾動力以及位移矢量分別為M,D,K,Fc,Fd,X。式中Λv,Rv分別為結構總剪切剛度矩陣正特征值組成的對角矩陣以及特征值對應的正交特征向量所組成的列向量。

2 模型降階

本文因引入GHM模型表征黏彈性材料阻尼特性不可避免導致結構模型耦合和自由度過高,因此結構模型需要降階處理。對于高維系統,物理空間模型降階方法可以保留系統物理自由度,物理意義明確;狀態空間模型降階方法能夠構造相應的模態空間實現非比例阻尼解耦和模態截斷。因此該部分采用聯合降階法。

2.1 物理空間下自由度縮聚

本文選取的主自由度為系統的物理坐標,副自由度為系統的耗散坐標,并將式(22)中系統動力學方程改寫為

(23)

本文選取的動力縮聚矩陣和迭代初值分別為

(24)

其中第i次迭代的具體值和系統動力學方程分別為

(25)

式(25)中動力學方程迭代求解出的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣以及壓電控制力矩陣具體表達為

(26)

2.2 復模態解耦與截斷

(27)

(28)

由于模態振型矩陣的振型向量之間線性無關且正交,因此式(28)中模態振型向量Y=Φξ可以作為基向量來表示物理坐標下的狀態向量[20],并將式(27)改寫為

(29)

狀態空間方程經模態變換后,原2n維系統動力學方程轉化為n個相互獨立的二維系統,實現了非比例阻尼系統解耦。由于本文主要研究ICLD懸臂梁結構的低頻振動,因此只截斷保留對系統特性貢獻較大的低階模態[21-22]。雖然截斷后的系統維數很低,但是轉換到模態空間的各矩陣都為復數,加大了控制器設計難度[23-24]。因此引入變換矩陣T將結構模型從復數空間轉化到實數空間,轉化后結構模型在實數空間表示為

(30)

3 控制率

本部分以簡化模型為對象設計了適用于線性時不變系統的最優輸出反饋控制器

Vc=-GVs

(31)

式中,G為系統待確定的輸出反饋增益矩陣。待確定的輸出反饋增益矩陣具體由控制器的代價函數確定

(32)

式中:Q為半正定加權矩陣,表征系統的控制性能;R為正定加權矩陣,表征系統的控制成本。代價函數的目的是尋找能夠有效平衡系統控制效果和控制成本的最優控制參數,即控制器的設計可以歸結為尋找使代價函數最小的反饋增益矩陣G對應的加權矩陣Q和R,其中反饋增益矩陣滿足Ricatti方程,系統的閉環系統方程為

(33)

4 模型驗證與仿真

該部分共完成了4點工作: ①對ICLD懸臂梁結構建模并與文獻[8]的結果對比,驗證本文有限元建模方法的正確性; ②對結構模型進行聯合降階處理,即先在物理空間用動力縮聚方法高精度保留系統的動態特性,再在狀態空間構造相應的模態空間對非比例阻尼系統進行解耦并保留系統的少數低階模態; ③根據圖1將長為0.261 6 m的懸臂梁劃分為6個單元,分別在1和2單元(結構1)、3和4單元(結構2)處粘貼黏彈性材料和壓電片,對比分析結構1和結構2的控制效果和控制成本; ④以結構1為研究對象,研究系統在不同激勵信號下的響應以及控制效果。其中各層材料的參數如下:

基梁:總長度為0.261 6 m、寬度為0.012 7 m、厚度為0.002 286 m、彈性模量為7.1×1010Pa、密度為2 700 kg/m3。

壓電層:寬度為0.012 7 m、厚度為0.000 762 m、彈性模量為7.4×1010Pa、密度為7 600 kg/m3、壓電應變常數為-1.75×10-10;

首先,本文對ICLD懸臂梁結構進行有限元建模。ICLD懸臂梁結構前三階自振頻率,如表1所示。表1中:本文建模方法計算出的結構自振頻率與參考文獻的結果誤差極小,驗證了本文有限元建模方法的正確性。然后以Matlab為平臺分別計算了結構1和結構2的自振頻率,可以看出黏彈性層和壓電層的鋪設位置對懸臂梁結構自振頻率有較大影響。因結構1與參考文獻結構相差不大,所以結構1的自振頻率與參考文獻誤差較小。結構2因壓電片和黏彈性材料鋪設位置逐漸靠近懸臂梁尖端,尖端附加質量變大導致結構的自振頻率也隨之變大。

表1 ICLD懸臂梁自振頻率

在本文建模方法正確的基礎上,該部分以結構1為研究對象從頻域角度出發驗證結構模型聯合降階方法的正確性。圖4為結構1模型簡化前后的Bode圖,橫坐標以lgw為單位,縱坐標以20lg|G(jw)|為單位,代表系統狀態方程的幅頻特性。由圖4可知,物理空間降階法很好地保留了結構1的動態特性;模態空間截斷法也較高精度地還原了結構1的低階動態特性。結合表1的數值結果和圖4的頻域特性,可以驗證本文ICLD懸臂梁建模方法和聯合降階方法的正確性。

圖4 結構1模型降階

由表1可知,黏彈性層和壓電層的鋪設位置對結構自振頻率有較大影響,因此該部分繼續研究了壓電片和黏彈性層的鋪設位置對系統控制行為的影響。在保持控制器加權參數相同的條件下對比研究了結構1和結構2的控制行為和控制成本。

結構1和結構2在單位脈沖載荷解除后結構的響應示意圖,如圖5所示。

圖5 結構1和結構2位移響應圖

由圖5可知,結構1和結構2的自由振動位移響應收斂行為和振幅沒有太大的差異,但結構2的振動幅值大于結構1的振動幅值;這是由于結構1和結構2的材料參數具有一致性,并且結構2壓電片和黏彈性材料的鋪設位置更加接近自由端,導致結構2尖端的附加質量大,所以結構2振幅略大于結構1。在相同控制參數下,結構1和結構2響應的控制行為分別如圖6和圖7所示。

圖6 結構1響應圖

圖7 結構2響應圖

由圖6可知,在上述控制條件下,結構1快速收斂的時間約0.15 s。

由圖7可知,結構2也迅速收斂,而結構2直到0.2 s左右才收斂。另外本文還考慮了結構振動的電壓控制成本,圖8為結構1和結構2的控制電壓對比圖。

圖8 結構1和結構2電壓對比圖

由圖8可知,結構1的總控制電壓小于結構2。結合圖5和表1,在控制器控制參數相同的情況下,壓電片層和黏彈性層的鋪設位置越靠近固定端,系統控制效果越好。

除上述工作外,本文還以其他激勵信號為輸入再次驗證簡化結構模型的普遍適用性。結構1在高斯白噪聲下的速度響應曲線,如圖9所示。具體以結構1的第一階模態控制高斯白噪聲的振動響應,并觀察控制系統的效果。由圖9可知,雖然高斯白噪聲屬于寬頻率范圍激勵,在隨機干擾下會影響系統控制效果,但是系統響應曲線的幅度顯著降低。再次驗證簡化結構模型的普遍適用性。

圖9 高斯白噪聲下系統的速度響應

5 結 論

本文主要針對ICLD懸臂梁結構的動力學建模方法、結構模型聯合簡化方法、壓電片和黏彈性材料的位置優化以及簡化模型的普遍適用性做了細致研究,得到一些有意義的結論:

(1) 在總體動力學方程的基礎上引入GHM模型表征黏彈性材料的阻尼特性。不僅保證了建模方法的正確性、單元組集簡單、物理意義明確并且結構模型的自由度更低。

(2) 物理空間降階法通過構造合適的迭代矩陣,可以高精度保留原系統的低頻特性,物理意義明確。狀態空間降階法,通過構造狀態空間對應的模態空間實現模態解耦,獨立控制截斷的模態。

(3) 壓電片和黏彈性材料鋪設的位置對結構的振動控制效果影響較大。鋪設位置越靠近自由端,懸臂梁末端附加有效質量越大,自由振動的振幅越大。在相同的控制參數下,懸臂梁末端的振動控制效果最差。相反,壓電層和黏彈性層越靠近固定端,控制效果越好。

(4) 解耦后的獨立模態可有效跟蹤帶有噪聲的激勵信號的響應。

本文的工作可應用于ICLD懸臂梁結構的靜態特性分析、高維系統降階以及懸臂梁結構振動主動控制。為工程上實際壓電片和黏彈性層鋪設位置提供了一些實際指導意義。