換元思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用思考

1 問題提出

數(shù)學(xué)為人們提供一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維可以建立數(shù)學(xué)對象之間的邏輯關(guān)系，通過計(jì)算思維可以將各種信息簡約和形式化[].G.波利亞[2]在《怎樣解題》中提及，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)思想方法是一種數(shù)學(xué)意識，屬于思維的范疇，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常會運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題，而換元法則是實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化的重要策略.換元思想的關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，從而使得非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，以此獲得問題的解決.新課標(biāo)新教材背景下，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會用到換元思想，換元思想的內(nèi)涵與思維特點(diǎn)、學(xué)生運(yùn)用換元思想的思維困惑等，這是值得再思考的.以蘇州市某區(qū)七下期末統(tǒng)考的一道數(shù)學(xué)試題為例：

[引例]若方程組（* 求方程組 的解.

學(xué)生解決這道題的思維困惑為：要解的方程組（**） 和已知的方程組 （*） 在形式上不完全一致，所以沒辦法直接換元.需要先變形成與方程組Ξ（Λ*Λ） 形式一致后，才能看出.比如將方程組 （**） 變形為方程組（

（20此時(shí)便可以進(jìn)行換元：不妨令 于是方程組 （**） 變形為 {aX+b，Y=c1'此時(shí)經(jīng)過換元（2將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題：方程組 便與方程組 （**） 同解（等價(jià)）.但從實(shí)際解決問題的情況來看，學(xué)生出錯(cuò)率較高，因此數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要系統(tǒng)思考換元思想的內(nèi)涵及教學(xué)價(jià)值，以此更好地融入數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升.

2 換元思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，換元思想是對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的重要策略，已有的研究主要關(guān)注換元思想在不同主題知識中的運(yùn)用、不同換元方法的運(yùn)用及在中考試題或數(shù)學(xué)競賽中的運(yùn)用情況.

2. 1 在不同主題知識中的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，換元法經(jīng)常運(yùn)用于解方程，比如引例中的二元一次方程組、分式方程[3]等，常規(guī)解方程（組）的方法不能奏效時(shí)，可以運(yùn)用多角度變形然后進(jìn)行換元，嘗試解決問題.在面對非標(biāo)準(zhǔn)形式方程時(shí)，也經(jīng)常需要用到換元思想．比如 此處可以先令

值得注意的是，換元化簡是一種解題策（20

略，并不是唯一選擇.另外，初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，換元法經(jīng)常運(yùn)用于求函數(shù)最值，比如已知 x²+xy+y²= 1，求 的最大值.此處可以將題設(shè)變形為 ，于是利用三角換元，令 易得 2x+y=2cost ，于是將二元最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.解決初中幾何問題時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用幾何知識和相關(guān)定理，其中也會運(yùn)用換元法引人新的元素或變量，改變解題角度或路徑，從而簡化問題，比如解決長度問題、面積問題、角度問題等[4].運(yùn)用換元思想解決問題過程中，強(qiáng)調(diào)問題分析的多角度性.需要對原有條件或已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重構(gòu)，發(fā)現(xiàn)新問題的解決路徑，指向靈活性和敏捷性等思維品質(zhì)的提升.

2.2 不同換元方法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，會關(guān)注不同換元方法的運(yùn)用，除了前面提及的三角換元，還有雙換元、局部同構(gòu)換元、常值換元等.其中雙換元是通過引入兩個(gè)新變量替換原問題中的量，進(jìn)而簡化復(fù)雜問題的解題策略，其核心在于通過變量代換降低問題的復(fù)雜程度，比如多個(gè)根式的分母有理化問題[5]：化簡 可以令 ， ，易發(fā)現(xiàn)：a²-b²=2 ，于是原式 （a+b）（1+a-b）=a+b，于是巧妙降低原問題的復(fù)雜程度.解決問題過程中用字母代替問題中的數(shù)值，也屬于常值換元法.再比如可以運(yùn)用局部同構(gòu)換元，構(gòu)造新函數(shù)，再利用新函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題[6.當(dāng)然運(yùn)用局部同構(gòu)換元時(shí)，需要對問題式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃位蚍趴s，以得到局部同構(gòu)式，構(gòu)造同構(gòu)模型.這個(gè)方法在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用較多，比如通過指對數(shù)互化，將函數(shù)式的局部化為同構(gòu)式，其中可能需要運(yùn)用重要不等式進(jìn)行放縮.換元思想的運(yùn)用核心是需要認(rèn)真觀察和分析問題的結(jié)構(gòu)特征，從而考慮換元對象，過程中強(qiáng)調(diào)方法運(yùn)用的靈活性及解決問題視角的多元性，指向靈活性、批判性的思維品質(zhì)的培養(yǎng).

2.3 在中考試題或數(shù)學(xué)競賽中的運(yùn)用

在中考試題或數(shù)學(xué)競賽試題中，也經(jīng)常會涉及

換元法.中考試題中會出現(xiàn)分式方程，其中會運(yùn)用換元法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，比如[7]：+3 x2-1 ，觀察方程結(jié)構(gòu)可以看出，等式左邊的分式互為倒數(shù)的關(guān)系，于是可以令+3 ，則原方程轉(zhuǎn)化為 所以，換元法的使用難點(diǎn)在于，探尋要解決問題中的隱含條件或結(jié)構(gòu)，以此尋找突破口，運(yùn)用換元降低問題的復(fù)雜程度，進(jìn)行問題的巧妙解決.在全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中，經(jīng)常會運(yùn)用到換元思想，比如[8]：求方程 的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).本題直接求解難度較大，所以可以采取局部換元法，令 ，于是 x= t²-9 ，則原方程轉(zhuǎn)化為： ，由此再進(jìn)行簡單化簡（如兩邊同時(shí)六次方，便可化簡得 t+3= （t-3）². ），便易于求出原方程的解.所以，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要依據(jù)問題的特點(diǎn)將某一個(gè)或多個(gè)式子看成整體進(jìn)行換元，生成新的關(guān)系式，從而較為簡捷地解決問題，指向?qū)W生敏捷性、深刻性等思維品質(zhì)的培養(yǎng).

綜上，換元思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到重要作用，也是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的較好思維載體.而由引例可以看出，學(xué)生對換元思想的靈活運(yùn)用還存在提升空間.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，如何引導(dǎo)學(xué)生更系統(tǒng)地理解換元思想，進(jìn)而可以遷移運(yùn)用，這是需要關(guān)注的.所以，研究欲基于換元思想的思維特點(diǎn)剖析其教學(xué)價(jià)值，并結(jié)合新教材中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的呈現(xiàn)，以此思考換元思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，指向培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和思維品質(zhì)

3 換元思想的教學(xué)價(jià)值

任何一個(gè)概念、方法的引入必然有其必要性及價(jià)值，換元思想也不例外，需要引導(dǎo)學(xué)生從“為什么要使用換元思想”中體會思維方法的教學(xué)價(jià)值

3.1 理解換元思想，助力問題的化歸與轉(zhuǎn)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱2022課標(biāo)）中明確提出，要整體分析學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)思想間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生的理解和把握.換元是將一個(gè)或幾個(gè)變量構(gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的部分用新的變量表示，以簡化問題的解決.所以換元的本質(zhì)是“轉(zhuǎn)化與化歸”[9]，通過以“元”換“式”（如整體換元）、以“式”換“元”（如三角換元）等將復(fù)雜問題簡潔化、非常規(guī)問題常規(guī)化等實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與化歸.比如引例中，面對方程組 ’與方程組 {ax +by=1'首先需要思考要求解的方程組（**） 與方程組 Ξ（Λ*Λ） 之間的關(guān)系，然后整體思考，繼而嘗試變形探索如何實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化，比如將方程組 （**） 變形為方程組（*）的形式，這就需要基于整體視角去分析.

3.2 凸顯結(jié)構(gòu)性與等價(jià)性，指向知識的聯(lián)結(jié)與遷移

換元思想作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的解題策略，其在解決問題的過程中蘊(yùn)含結(jié)構(gòu)性和等價(jià)性的特點(diǎn).解決問題的本質(zhì)是到被破壞的秩序中去找尋，以達(dá)到新的秩序；每一種類型表達(dá)一種結(jié)構(gòu)方式，“結(jié)構(gòu)”本身掩蓋了反思所揭示出來的那種混亂[10].比如，引例中可以看出方程組 （**） 與方程組 （*） 之間隱藏某種結(jié)構(gòu)一致性，這一點(diǎn)學(xué)生不難發(fā)現(xiàn).但是方程組 （**） 中存在“不和諧”，如何突破這種“不和諧”，這是關(guān)鍵.這里的難點(diǎn)是方程組中“變量”較多，需要確定一個(gè)“固定的結(jié)構(gòu)”，這樣才能有效轉(zhuǎn)化.這里采用將方程組 （**） 變形為 這時(shí)便突破“不和諧”，從被破壞的秩序中尋找到了秩序（結(jié)構(gòu)），即不妨令 于是變形為 （aX+b，Y=c'此時(shí)換元思想奏效.運(yùn)用換元思想的難點(diǎn)是從“被破環(huán)的秩序”中尋找“結(jié)構(gòu)”，這一過程需要等價(jià)變形助力，所以換元思想兼?zhèn)洹敖Y(jié)構(gòu)性”和“等價(jià)性”，解決問題的過程中需要學(xué)生基于已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和知識，實(shí)現(xiàn)知識的聯(lián)結(jié)與遷移.

4新教材背景下?lián)Q元思想在教學(xué)中的滲透策略

學(xué)生運(yùn)用換元思想需要經(jīng)歷以下階段[11]：通過典型問題的解決進(jìn)行模仿和體會；繼而進(jìn)行反思與整合，嘗試進(jìn)行變式運(yùn)用；然后進(jìn)行自覺運(yùn)用嘗試解決問題；最后進(jìn)行知識與方法的靈活運(yùn)用，進(jìn)入分離與創(chuàng)新階段.新教材背景下，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，需要結(jié)合換元思想的學(xué)習(xí)進(jìn)階思考其教學(xué)滲透策略.

4.1 典型運(yùn)用，模仿與體悟

換元思想并不像一般的數(shù)學(xué)知識編排在具體章節(jié)中，其往往隱含在具體數(shù)學(xué)問題中，正是這種隱蔽性和分散性，需要教師結(jié)合換元思想的學(xué)習(xí)進(jìn)階，整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用換元思想，指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力的提升.比如引例中的問題屬于二元一次方程組知識中的典型問題，平時(shí)學(xué)習(xí)可以從典型問題開始模仿與體悟.不妨進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

問題1 已知關(guān)于 x，y 的二元一次方程組{2x +3y =α，的解是} 求關(guān)于 x，y 的二元一次方程組

問題2 已知關(guān)于 x，y 的二元一次方程組 的解是 求關(guān)于 ^x，y 的二元一次方程組 的解.

問題3 已知關(guān)于 x，y 的二元一次方程組 求關(guān)于 ^x，y 的二元一次方程組 {ax + 2b，y = 3c1的解.

以上3個(gè)問題均為引例的基本原型，隨著題型條件和問題的稍微變化，引導(dǎo)學(xué)生體悟解決這類問題的關(guān)鍵：以題設(shè)為結(jié)構(gòu)原型，將要解決的問題變形為題設(shè)的“結(jié)構(gòu)\"（需要關(guān)注保持系數(shù)不變）.因?yàn)檫@些問題均為非常規(guī)二元一次方程組，所以需要運(yùn)用換元思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，于是問題1中可以令{x+2025=X，即問題方程組變形為 （204號{2X + 3Y =α，問題2中令 于是問題方程組變形為 問題3中因?yàn)閱栴}方程組的等式右邊系數(shù)發(fā)生變化，所以需要先變形為 即問題方程組變形為 {αX+b，Y=c'此處教師不能一味地引導(dǎo)學(xué)（204號生模仿，而是需要從不同二元一次方程組問題的解決中，體悟問題變化中不變的本質(zhì)，理解問題的本質(zhì)和換元思想的本質(zhì)，指向?qū)W生問題解決能力的提升和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形塑

4.2 靈活運(yùn)用，反思與整合

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程分為三個(gè)階段：潛意識階段、明朗化階段和深刻化階段[12].換元思想也需要經(jīng)歷由模仿與體悟（潛意識階段）走向明朗化和深刻化階段，而這便需要學(xué)生能夠基于已有的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思與整合，指向靈活運(yùn)用.比如換元思想與完全平方公式的融合運(yùn)用時(shí)，經(jīng)常會出現(xiàn)這一類型問題：若 x 滿足 （5-x）（x-2）=2 ，求 （x-5）²+ （204號 （2-x）² 的值.解決這類問題的關(guān)鍵是尋找其中的隱含信息： ，于是令 5-x=a ，x-2=b ，則問題轉(zhuǎn)化為：已知 ab=2 且 a+b=3 ，求a²+b² 的值.于是結(jié)合換元思想將原問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的完全平方公式的變形：即 a²+b²=（a+b）² （2號-2ab=5 ，問題得解.這里便利用換元思想挖掘問題背后的本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為完全平方公式的運(yùn)用問題，也體現(xiàn)換元思想的結(jié)構(gòu)性和等價(jià)性等特點(diǎn).但是此時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)反思，你還能提出什么樣的問題？培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力、問題提出能力.此時(shí)便有同學(xué)提出，要是和不是定值，差是定值呢？此處教師要允許學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法，并舉出例子.還有學(xué)生提出這樣的問題：若 x 滿足 （2x-3）（x-1） （204號=3 ，求 （3-2x）²+4（x-1）² 的值，這便是很好的課堂資源.于是學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要先挖掘隱藏信息：令 2x- 3=a，2x-2=b ，此時(shí)原問題轉(zhuǎn)化為： a-b=-1，ab =6 ，求 a²+b² 值.

在換元思想學(xué)習(xí)的潛意識階段，學(xué)生往往只注意到思想方法運(yùn)用的外在形式，而沒能注意到知識背后潛藏的變化信息，此時(shí)教師需要利用學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動學(xué)生繼續(xù)思考，挖掘內(nèi)在的變化因素，基于此反思與整合，形成對這類題型的明朗化和深刻化的認(rèn)識，指向換元思想的靈活運(yùn)用.

4.3 創(chuàng)新運(yùn)用，分離與超越

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，換元思想的學(xué)習(xí)需要?dú)v經(jīng)模仿與體悟、反思與整合，繼而嘗試分離與超越階段.換元思想只是一種解題策略，數(shù)學(xué)問題的解決過程需要關(guān)注模式和定法多用，但同時(shí)也需要關(guān)注一題多解、方法的優(yōu)化，指向知識的聯(lián)結(jié)與遷移.學(xué)生通過反思與整合，促進(jìn)對換元思想新的理解.比如：求（2x-3）（1-x） 何時(shí)取得最大值.學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這其實(shí)已經(jīng)不再是原來的求值問題，而是求最大值問題.解決數(shù)學(xué)問題的難點(diǎn)在于，如何挖掘其中隱含的結(jié)構(gòu)，將已有知識和經(jīng)驗(yàn)與新問題發(fā)生聯(lián)結(jié)，進(jìn)而巧妙解決.對于 （2x-3）（1-x） 的最大值，解決問題的過程中，有同學(xué)進(jìn)行大膽想象：長方形周長一定時(shí)，當(dāng)長和寬相等時(shí)面積最大.此時(shí)便是課堂上不期而遇的“美麗”，教師需要能善于把握課堂的資源轉(zhuǎn)化為教學(xué)任務(wù)：這里有“長”和“寬”嗎？學(xué)生回答：不妨記 a=2x-3，b=2-2x ，此時(shí)會發(fā)現(xiàn) a+b=-1 （此處可以把 α_a 和 b 想象成長方形的長和寬），問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：已知 a+b=-1 ，求 何時(shí)取得最大值.于是當(dāng) a=b ，即 2x-3=2-2x 時(shí)， （2x-3）（1-x） 取得最大值.這一思考過程反映出，學(xué)生對換元思想的理解由模仿、整合轉(zhuǎn)向超越，達(dá)到一種創(chuàng)新運(yùn)用.

由此發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對換元思想的認(rèn)識過程，需要經(jīng)歷不斷的體驗(yàn)、領(lǐng)悟、反思，過程中不斷激活“條件”，從而采取“行動”（換元思想）.學(xué)生經(jīng)由反思辨析：如何運(yùn)用換元思想將“無序”或“混亂”進(jìn)行調(diào)整與轉(zhuǎn)化，這一過程的反復(fù)體驗(yàn)可以促進(jìn)對換元思想的深度理解，以此實(shí)現(xiàn)對思想方法的分離與超越.當(dāng)然，以上僅以蘇科版七年級新教材中出現(xiàn)的問題為載體進(jìn)行的思考，后續(xù)可以結(jié)合其他學(xué)段的數(shù)學(xué)教材，繼續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化對換元思想的認(rèn)識.

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作者簡介李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究；

黃賢明（1999—），男，江蘇蘇州人，碩士研究生，中學(xué)二級教師；主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.