人教版新舊教材三角形內(nèi)容的對比研究

三角形是一種居于核心地位的幾何圖形，是能夠充分體現(xiàn)“借助簡單對象闡釋深刻思想”的理想載體.對于三角形的課程設(shè)計(jì)、教材編寫、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施等，是值得下大力氣研究的[1].教材作為課程實(shí)施的核心載體，其內(nèi)容編排與教學(xué)導(dǎo)向的調(diào)整對課堂教學(xué)具有重要影響.2024年人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱“新版教材”）三角形內(nèi)容在2012年人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱“舊版教材”）的基礎(chǔ)上進(jìn)行了整合與優(yōu)化，因此有必要對新舊兩版教材的三角形內(nèi)容進(jìn)行對比，這有助于教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)、提升學(xué)科育人質(zhì)量.

1新舊兩版教材對比

1.1 章節(jié)設(shè)置

兩版教材三角形內(nèi)容均安排在八上第一章，但章節(jié)結(jié)構(gòu)與課時(shí)安排有調(diào)整.舊版教材含3節(jié)7小節(jié)，共8課時(shí)，其中第3節(jié)涉及四邊形內(nèi)容；新版教材調(diào)整為3節(jié)5小節(jié)，共6課時(shí)，刪除四邊形相關(guān)內(nèi)容，聚焦于三角形的研究.具體對比見表1.

表1新舊兩版教材章節(jié)設(shè)置對比

1.2體例結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容

兩版教材體例結(jié)構(gòu)基本一致，均包含章引言、章頭圖、分節(jié)內(nèi)容、習(xí)題、數(shù)學(xué)活動、小結(jié)等模塊.但新版教材在細(xì)節(jié)設(shè)置上做了些優(yōu)化，如每一節(jié)增加了節(jié)前語引導(dǎo)學(xué)習(xí)，優(yōu)化了問題分析和邊欄設(shè)置，精簡了例習(xí)題的數(shù)量，具體見表2.

表2新舊兩版教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)對比

2基于文本分析的教材主要變化

在深入對比兩版教材三角形內(nèi)容后，發(fā)現(xiàn)新版教材在知識結(jié)構(gòu)、教學(xué)引導(dǎo)與學(xué)習(xí)支持體系等方面有顯著優(yōu)化，既提升內(nèi)容系統(tǒng)性與邏輯性，又強(qiáng)化對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的契合度.

2.1 知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性

2.1.1 章節(jié)內(nèi)容的模塊化整合

新版教材對本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，第一章只研究三角形，將與四邊形有關(guān)的知識（第3節(jié)）移出本章，將三角形的穩(wěn)定性的研究放在與三角形有關(guān)的線段中，三角形的概念獨(dú)立成節(jié)，總共還是三節(jié).按“三角形的概念 $$ 與三角形有關(guān)的線段 $$ 與三角形有關(guān)的角\"這樣的順序展開學(xué)習(xí)，體現(xiàn)“總分\"結(jié)構(gòu).這樣的調(diào)整增強(qiáng)了知識的整體性和系統(tǒng)性，也滲透了幾何研究的一般路徑.從定義到性質(zhì)逐步進(jìn)行研究，幫助學(xué)生更好地理解和掌握三角形的相關(guān)知識

2.1.2 知識序列的認(rèn)知梯度調(diào)整

新版教材優(yōu)化了知識呈現(xiàn)順序，如將重要線段的研究順序從“高線 $$ 中線 $$ 角平分線”調(diào)整為“中線 $$ 角平分線 $$ 高線”.三線中高線是難度最大的，因?yàn)槔斫飧叩母拍钜渣c(diǎn)到直線的距離為基礎(chǔ)，較為抽象；畫高線時(shí)需要過一點(diǎn)做已知直線的垂線，難度較大，特別是畫鈍角所在邊上的高線需要添加輔助線，對思維要求高；探究性質(zhì)時(shí)，三條高線的交點(diǎn)情況也最為復(fù)雜.因此，雖然高線小學(xué)中已經(jīng)學(xué)過，但還是應(yīng)該放最后重點(diǎn)探究.這樣的編排順序從易到難、從簡單到復(fù)雜，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

2.2教學(xué)引導(dǎo)的探究性

2.2.1 加強(qiáng)內(nèi)部邏輯，凸顯系統(tǒng)性

新版教材在知識結(jié)構(gòu)的邏輯性和條理性方面進(jìn)行了系統(tǒng)優(yōu)化.以“三角形分類”為例，在按邊分類時(shí)會涉及等腰三角形和等邊三角形的概念，舊版教材是按“等腰（邊）三角形的概念 $$ 按角分類 $$ 按邊分類\"的順序研究.這樣的編排，一是等腰（邊）三角形的概念比較突兀，二是對三角形按角分類和按邊分類的探究有點(diǎn)混亂，缺乏條理性.新版教材則先復(fù)習(xí)回顧三角形按角分類，鞏固認(rèn)知基礎(chǔ)，接著自然提出“如何根據(jù)邊的關(guān)系分類？\"引導(dǎo)學(xué)生類比角的分類展開探究.在探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察邊的數(shù)量關(guān)系，按相等的邊的數(shù)量從少到多依次分為三邊都不相等、兩邊相等、三邊相等，從而自然引出等腰三角形和等邊三角形兩種特殊三角形，進(jìn)一步給出概念.最后，教材通過系統(tǒng)地歸納整理，用圖示清晰地呈現(xiàn)完整的分類體系.這種編排方式不僅優(yōu)化了知識結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)了邏輯，同時(shí)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、多邊形等內(nèi)容奠定了良好的思維基礎(chǔ).

2.2.2 加強(qiáng)問題引導(dǎo)，展現(xiàn)思維過程

新版教材以問題驅(qū)動學(xué)習(xí)，加強(qiáng)問題引導(dǎo)，重視從“一般觀念”出發(fā)構(gòu)建數(shù)學(xué)對象的研究思路，展現(xiàn)思維過程.以“三角形的邊”這一小節(jié)為例，教材通過“節(jié)前語 $$ 探究 $$ 思考”這一系列遞進(jìn)式的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生逐步深人探究三角形邊的性質(zhì).

節(jié)前語：三角形的邊是構(gòu)成三角形的元素，本節(jié)我們研究三角形三邊之間的關(guān)系，并認(rèn)識與三角形有關(guān)的三種重要線段.

探究：任意畫一個(gè) ΔABC ，從點(diǎn) B 出發(fā)，沿三角形的邊到點(diǎn)C ，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？這說明三角形的邊之間有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？

思考：反過來，對于三條線段，當(dāng)它們滿足什么條件時(shí)，這三條線段能組成三角形？

新版教材的節(jié)前語從數(shù)學(xué)對象的構(gòu)成要素出發(fā)，明確研究目標(biāo)，體現(xiàn)了從基本要素人手研究幾何圖形的一般觀念.探究欄目以現(xiàn)實(shí)路徑選擇為情境，激發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生經(jīng)過操作、比較、歸納和證明，體現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的思維進(jìn)階.思考欄自引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考，從性質(zhì)探究轉(zhuǎn)向判定研究.教材注重展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.同時(shí)，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化思維，理解幾何研究的基本路徑.

2.3學(xué)習(xí)支持的結(jié)構(gòu)化

2.3.1 修訂引言和小結(jié)

新版教材修訂了章節(jié)引言和小結(jié)，以更好地發(fā)揮導(dǎo)學(xué)功能.章頭圖換成了香港地標(biāo)性建筑之一的中銀大廈，章引言中新增了高壓輸電塔的案例，更加符合時(shí)代氣息.在章引言中，還完善了本章主要內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)習(xí)（研究）方法的表述，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)

在本章小結(jié)中，新版教材完善了知識結(jié)構(gòu)圖，展示三角形章節(jié)的主要知識點(diǎn)及其聯(lián)系，幫助學(xué)生形成完整的知識框架.在回顧與復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生自主整理的問題由5個(gè)變?yōu)?個(gè)，分別指向?qū)Ρ菊轮忻恳恍」?jié)內(nèi)容的反思與回顧，指出構(gòu)成幾何圖形的要素之間的關(guān)系是幾何研究的重要內(nèi)容，邊、角是構(gòu)成三角形的要素，引導(dǎo)學(xué)生從更高層次上理解本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加強(qiáng)章小結(jié)的思想性與引導(dǎo)性，更好地幫助學(xué)生回顧反思.

2.3.2升級例習(xí)題系統(tǒng)

新版教材將例、習(xí)題系統(tǒng)視為促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、提升創(chuàng)新意識、提高實(shí)踐能力的重要平臺.在本章節(jié)中，例題與舊版教材基本保持一致，在三角形的概念這一節(jié)增加了三角形、等腰三角形和等邊三角形的符號表示的例題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，助力學(xué)生從圖形認(rèn)知向符號表征過渡.在習(xí)題方面，新版教材每小節(jié)都配置了1～2個(gè)練習(xí)，對部分習(xí)題進(jìn)行了調(diào)整優(yōu)化，難度與舊版教材基本一致，數(shù)量上則更加精簡.

3基于新舊教材對比的教學(xué)建議

從新舊兩版教材的對比中可以看出，新版教材對知識邏輯的梳理、探究路徑的設(shè)計(jì)及學(xué)習(xí)支持的完善，本質(zhì)是為了更好契合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與核心素養(yǎng)發(fā)展需求.這些變化不僅是文本層面的結(jié)構(gòu)重組，更暗含著幾何教學(xué)從“知識傳授”向“思維培育”的范式轉(zhuǎn)型.在充分理解教材變化的基礎(chǔ)上，我們需要進(jìn)一步思考如何將這些文本層面的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為有效的教學(xué)策略，從而真正實(shí)現(xiàn)從“教材”到“教學(xué)”的跨越.

3.1 循研究范式，建構(gòu)認(rèn)知圖譜

三角形作為首個(gè)系統(tǒng)學(xué)習(xí)的封閉圖形，“它的研究內(nèi)容、路徑、過程和方法具有一般意義”[2]，其研究范式為后續(xù)幾何學(xué)習(xí)提供了可遷移的認(rèn)知框架.在章節(jié)起始課中，引導(dǎo)學(xué)生回顧角和平行線的研究路徑，類比建立三角形的研究框架：從生活實(shí)例抽象定義入手，明確三角形的組成要素（邊和角），然后對邊和角兩個(gè)要素及相關(guān)要素（三角形的三線）有序而逐一深人地展開探索.為了讓學(xué)生對本章的研究內(nèi)容形成整體認(rèn)知，教師可以在章節(jié)起始課中架構(gòu)本章的知識研究圖譜（圖1）.

這種顯性化的研究路徑讓學(xué)生在見樹木前先見樹林，直觀理解知識的“來龍去脈”，對本章的知識有整體的把握.可以幫助學(xué)生更好地理解知識的邏輯關(guān)聯(lián)，逐步形成“用研究范式統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)”的思維模式.

3.2 重抽象過程，培育抽象能力

數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)從具體到抽象的漸進(jìn)過程.在教學(xué)中，教師應(yīng)注意概念與客觀現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，充分利用其所反映的實(shí)物原型，通過從具體到抽象的認(rèn)知過程引導(dǎo)學(xué)生用幾何觀點(diǎn)認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)展其抽象能力[3].以三角形的定義為例，在概念建構(gòu)時(shí)，應(yīng)當(dāng)重視概念的抽象過程，要注重學(xué)生的主動建構(gòu)，可以先呈現(xiàn)生活素材，從中抽象得出三角形的數(shù)學(xué)圖形，再引導(dǎo)學(xué)生觀察和討論，逐步聚焦到“三條邊”“三個(gè)頂點(diǎn)”“封閉圖形”等關(guān)鍵屬性.接著，對共同特征加以提煉，達(dá)到對幾何特征抽象的描述（定義），再給出符號化的表達(dá)，是對概念的進(jìn)一步抽象.這一過程有效幫助學(xué)生完成了從生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)定義的思維跨越，能很好地培育學(xué)生的抽象能力.

3.3 融直觀推理，筑牢論證之基

八年級是學(xué)生正式系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何證明的起點(diǎn)，教師需平衡直觀操作與邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，設(shè)計(jì)融幾何直觀和邏輯推理的教學(xué)活動，幫助學(xué)生完成從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡.以“三角形內(nèi)角和定理”為例，首先通過剪拼三角形三個(gè)內(nèi)角成平角這一直觀操作，喚起學(xué)生舊知.再設(shè)置問題串： ①180^° 與哪些知識相關(guān)？（平角、平行線被直線截得的同旁內(nèi)角）② 剪拼過程什么變了，什么保持不變？（角的位置改變而大小不變） ③ 如何能實(shí)現(xiàn)只改變角的位置而不改變角的大小？（引導(dǎo)添加輔助線）.通過這一遞進(jìn)式的問題串，引導(dǎo)學(xué)生理性思考，抓住剪拼改變角的位置而不改變角的大小這一本質(zhì)，最后利用平行線的性質(zhì)完成證明.在完成定理的證明后，可以啟發(fā)學(xué)生思考更多添加輔助線的方法，如可以拓展為過邊上一點(diǎn)、內(nèi)部一點(diǎn)或者外部一點(diǎn)做平行線，體會不同證法的本質(zhì)都是構(gòu)造平行線完成角的轉(zhuǎn)化

這種階梯式的活動，從直觀操作到理性思考，再到嚴(yán)格證明，既有幾何直觀，又有嚴(yán)密的邏輯推理.通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生不僅能掌握幾何證明的基本方法，更能體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與普適性，逐步提升學(xué)生的邏輯思維能力.

3.4滲思想方法，進(jìn)階核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是連接知識與素養(yǎng)的關(guān)鍵橋梁，三角形單元便蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.例如，三角形內(nèi)角和定理體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，將幾何上的“隱性和\"轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的“顯性和 180^° ”.在三角形分類中，無論是按角還是按邊分類，都需明確分類標(biāo)準(zhǔn)，這凸顯了分類討論思想的重要性.同時(shí)，三角形在形狀和大小變化中保持穩(wěn)定的性質(zhì)，如內(nèi)角和始終為180^° ，兩邊之和大于第三邊，則體現(xiàn)了變中的不變量思想.因此，在三角形全章的教學(xué)中，教師應(yīng)以具體問題為載體，將數(shù)學(xué)思想方法“顯性化”，讓學(xué)生在解決問題的過程中自然感悟，實(shí)現(xiàn)從“解題”到“悟道”的升華，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

3.5建結(jié)構(gòu)化體系，深化遷移意識

2022版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，但這一過程并非一蹴而就.鑒于學(xué)習(xí)是漸進(jìn)的，學(xué)生對知識的理解需逐步深化，章節(jié)復(fù)習(xí)與整理階段顯得尤為關(guān)鍵.此階段應(yīng)聚焦“研究路徑反思 $$ 思想方法提煉 $$ 后續(xù)學(xué)習(xí)展望”的立體化建構(gòu)，指導(dǎo)學(xué)生回顧反思，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)識，構(gòu)建符合自身認(rèn)知特點(diǎn)的知識體系.

在本章復(fù)習(xí)中，可設(shè)置以下問題：“本章我們研究了三角形的哪些內(nèi)容？”“是沿著怎樣的路徑研究的？”“研究的方法是什么？”并引導(dǎo)學(xué)生對以上問題進(jìn)行深入思考，幫助學(xué)生初步掌握研究幾何圖形的一般方法，逐步形成結(jié)構(gòu)化思維.同時(shí)，對后續(xù)學(xué)習(xí)給出前瞻性提示，指出后續(xù)研究將從定性轉(zhuǎn)向定量，繼續(xù)探索三角形的要素與相關(guān)要素，會從邊、角的特殊化來研究特殊三角形，還會研究兩個(gè)三角形的關(guān)系（全等和相似），以及研究邊與角的關(guān)系（銳角三角函數(shù)），幫助學(xué)生了解三角形大家族的全貌（圖2），并指出本章三角形研究方法可遷移至后續(xù)的研究中.這種結(jié)構(gòu)化小結(jié)不僅能強(qiáng)化學(xué)生對知識的整體把握，還能促進(jìn)他們對知識的深度理解和靈活應(yīng)用.通過構(gòu)建三角形的結(jié)構(gòu)化體系，學(xué)生能夠?qū)⒘闵⒌闹R點(diǎn)串聯(lián)起來，形成一個(gè)完整的知識網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化反思中逐步形成可遷移的幾何學(xué)習(xí)能力，進(jìn)一步提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力.

新版教材三角形內(nèi)容的編排優(yōu)化不僅體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的回歸，更彰顯了對學(xué)生核心素養(yǎng)培育的重視.教學(xué)中教師應(yīng)以新版教材為載體，以基于教材又超越教材的視角開展研究，持續(xù)探索幾何教學(xué)的創(chuàng)新路徑，將數(shù)學(xué)思想方法的滲透融人日常教學(xué)，搭建連接“教材文本”與“課堂實(shí)踐”的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生從“學(xué)會知識”走向“學(xué)會學(xué)習(xí)”.

參考文獻(xiàn)

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[3]劉長明，張飛玲.加強(qiáng)幾何直觀，重視邏輯推理，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2025（2）：5-9.

作者簡介趙慧芳（1981—），女，浙江溫州人，中學(xué)高級教師，溫州市名師，浙江省名師培養(yǎng)對象，曾獲浙江省教育科學(xué)研究優(yōu)秀成果一等獎(jiǎng)；主要研究初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和命題研究.