代數推理：從直覺猜想走向理性建構的深度之旅

1原題呈現 （2025年福建省中考第24題）

閱讀材料，回答問題（1）解決問題1;

（2）請把 ①② 所缺的證明過程補充完整；

（3）解決問題2.

分析本題考查判斷命題的真假、科學記數法、整數指數冪、冪的運算、不等式的基本性質等基礎知識；考查抽象能力、推理能力、運算能力、應用意識與創新意識；考查應用所學知識分析、解決問題的綜合實踐能力；考查特殊與一般思想，分類與整合思想、化歸與轉化思想等.其命題思路體現了“從知識立意到素養立意”的轉型，通過真實的數學探究情境，有效考查學生的深層思維能力，對課堂教學向“深度學習”轉型具有積極導向.（1）舉反例即可；（2） ① 當 c 得 ，不合題意； ② 當 c gt;bgt;1，可得1lt; ，得 ，即得 p= m+n;（3） 設 的數字分別為 ^{a，b，c，C} 的位數為 x ，則 B×C=A. 當 a?b 時，必有 α?c，m =n+x-1 ，即 x=m-n+1 ；當 a

解答

（1）小明猜想錯誤，反例： 30×40= 1200

（2） 所以 1lt; （

，與 （*） 矛盾，不合題意；

所以 ，所以 ，由 （*） 知 ，所以 p=m+n ：

（3）當 A 的數字大于或等于 B 的數字時 的 位數是 m-n+1 ，當 A 的數字小于 B 的數字時 的 位數是 m-n

證明如下：由已知， ^，A，B 的位數分別為 m，n ， 設 的數字分別為 ^{a，b，c，C} 的位數為 x 則 B×C=A

由小華的命題知，當 a?b 時，必有 a?c ，此時，m=n+x-1 ，所以 x=m-n+1 ，當 a

a

綜上所述，當 A 的數字大于或等于 B 的數字時， 的位數是 m-n+1 ，當 A 的數字小于 B 的數字時， 的位數是 m-n

2 解后反思

2.1 以“抽象化”為引擎，鍛造代數推理的思維基石

本題的核心創新在于對“位數”概念的重新定義——將直觀的整數位數抽象為科學記數法中的指數特征.這種從“離散計數”到“連續量化”的躍遷，是代數推理的精髓所在1.

教學啟示：

（1）深挖教材中的抽象原型

如人教版（2024版）八年級上冊第十六章第二節整式的乘法中的“科學記數法”一節是重要起點.教學中可增設活動：

活動設計：

① 計算 （3×10²）×（4×10³）= ，結果的指數與乘數指數有何關系？

② 若 （a×10^m）×（b×10ⁿ）=c×10^p ，探索 p 與m，n 的關系.

通過此類任務，引導學生發現指數相加的代數本質，為位數推理奠基[2].

（2）構建“具體 $$ 抽象 $$ 具體”的認知閉環如本題中，學生需經歷：

具體感知： 46×2=92（2 位數 ×1 位數 2 位 數）.

抽象建模：定義位數函數 計算位數函數 L（x） 的步驟如下：

步驟1：計算x的以10為底的對數，即log1x;

步驟2：取地板函數（向下取整），得到 [log₁₀x] 步驟3：將結果加1，即[

回歸驗證：用模型解釋 30×40=1200（2+2≠ 3而是4）.

此過程完美詮釋了“數學化”思想，是培養抽象能力的黃金路徑[3].

案例：在“不等式性質”教學中，可設計：

“已知 agt;bgt;0 ，比較 a² 與 b² 的大小，能否推廣到 aⁿ 與 bⁿ ？”

引導學生從特殊數值計算轉向冪函數單調性的代數證明，實現思維升級

2.2 以“邏輯鏈”為骨架，規范代數推理的演繹路徑

命題證明部分的四個分類討論（尤其是補充的①② ），構建了嚴密的邏輯網絡.其價值在于：

（1）分類標準的科學性

以數字 ^a，b，c 的大小關系為分類依據，源于對等式 ab×10^m+n-2=c×10^p-1 的深度剖析.這種“基于數學結構”的分類，遠優于盲目的經驗劃分.

（2）矛盾論證的示范性

補充證明中：

① 當 cc?b 時，因為 cc?1?abgt;c?b?b? c ，但 （*） 式要求 ab=c?10^p-m-n+1

僅當 時可能成立，此時 ab? 10cgt;c ，矛盾！

此過程展現了“假設 $$ 推導 $$ 矛盾 $$ 否定”的完整反證鏈條，是訓練邏輯嚴謹性的典范

教學對策：

實施“給證明搭建腳手架”策略

對復雜推理，提供結構化思考模板：

[假設條件] $$ [導出關系] $$ [數學約束] $$ [結論判定]

強化“區間變化范圍”意識.

以本題反例 30×40=1200 為例，引導學生關注“進位臨界點”（如 25×4=100 ），理解分類的必要性

2.3 以“遷移力”為抓手，拓展代數推理的認知疆域

從乘法位數（問題1）到除法位數（問題2）的遷移，實現了思維方法的縱向延伸：

（1）運算互逆的代數同構

設 則 A=B×C. 利用已證的乘法位數命題：

當 a?b 時，必有 a?c?m=n+x-1?x=m ：

當am=n+x=gt;x=m-n.

這種將除法轉化為乘法的策略，揭示了運算間的代數對稱性

（2）推廣到有理數的思維進化

原題限定正整數，但通過科學記數法將結論拓展到所有正有理數（如 0.03×0.004=1.2×10^-4 位數 2+2-1=3 ）.這種從“離散”到“連續”的突破，正是代數推理的至高價值.

教學拓展建議設計探究鏈：

整數乘法位數 $$ 有理數乘法位數 $$ 除法位數$$ 冪運算位數

例如探究：“ （2×10³）² 的位數是多少？推廣到（ Φ_a×10^m ）\"的位數規律”，深化對指數律的代數理解.

2.4 以“深度學習”為目標，重構代數推理的教學

范式本題對課堂教學轉型的啟示尤為深刻：（1）從“題型訓練”轉向“思維孵化”傳統教學可能止步于“舉反例證偽”，但本題要

求學生：修正原始猜想（推廣到有理數）；建立新理論體系（位數定義 + 命題證明）；解決衍生問題（除法位數）.這恰是“猜想 $$ 證偽 $$ 重建 $$ 應用”的科學探

究全流程.（2）踐行“三不原則”提升思維品質不設限：允許學生提出非常規定義（如位數推

廣）.不代勞：證明空缺部分（如 ①② ）留給學生補充.不閉環：結尾追問“如何研究根式的位數？”實踐案例：在\"完全平方公式”教學中：（1）先觀察 （a+b）²=a²+2ab+b² 的特殊實

例；（2）引導學生發現“中間項系數2”的代數本

質；（3）自主推導 （a+b+c）² 的展開式；（4）猜想并證明 n 項和的平方公式.如此，將公式教學升華為歸納推理訓練場.

3結語

福建省中考此題猶如一座思維燈塔，照亮了代數推理的教學真諦：它絕非冰冷的符號演算，而是活生生的數學創造歷程.教師當以“抽象化”為舟、“邏輯鏈”為槳、“遷移力”為帆，帶學生駛向深度學習的彼岸.唯有如此，核心素養才能在推理的土壤中生根發芽，綻放出理性的璀璨之花.

參考文獻

[1]章建躍.中學數學中的代數推理[J].數學通報，2023（4） ： 1-6.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2024.

作者簡介陳冬（1969—），男，江蘇張家港人，中小學正高級教師，江蘇省初中數學特級教師，中國教育專家網高級專家，江蘇省優秀援疆干部人才，蘇州大學教育碩士校外導師；主要研究數學教材教法、數學課堂教學等.發表論文110余篇，著有《構建數學教育教學新常態》一書.