解析幾何中圓的切線問題

圓的切線問題是銜接幾何與代數(shù)的橋梁。從幾何層面看，切線是圓的基本幾何元素，涉及圓的半徑、圓心距等幾何性質(zhì)（如切線垂直于過切點的半徑、切線長定理等），是平面幾何知識的延伸。從代數(shù)層面看，通過解析幾何工具（如直線的方程，圓的標準方程、一般方程），將切線問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算（如判別式法、點到直線的距離公式），體現(xiàn)“以數(shù)解形”的思想。

一、教材中涉及圓的切線的內(nèi)容

在人教A版《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章直線和圓的方程中，有四處涉及圓的切線問題。

1.第92頁例2：過點 P（2，1） 作圓 O ：x²+y²=1 的切線 ξ_l ，求切線 ξ_l 的方程。

分析：由題意知，點 P（2，1） 在圓 O：x²+ y²=1 外，經(jīng)過圓外一點有兩條直線與這個圓相切?？稍O(shè)切線方程為 y-1=k（x-2） ，由直線與圓相切可以求出斜率 k 的值。

求 k 時，可以從幾何角度處理，依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切 ? 圓心到直線的距離等于圓的半徑。

解法1：設(shè)切線 ξ_l 的斜率為 k ，則切線 ξ_l 的方程為 y-1=k（x-2） ，即 kx-y+1-2k= 0。由圓心（0，0）到切線 ι 的距離等于圓的半徑1，得 ，解得 k=0 或 因此，所求切線 ι 的方程為 或 4x-3y-5=0 。

也可以從代數(shù)角度處理，將判斷直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解，直線與圓相切 ? 方程組僅有一組解。

解法2：設(shè)切線 ξ_l 的斜率為 k ，則切線 ξ_l 的方程為 y-1=k（x-2） 。因為直線 ξ_l 與圓相

0切，所以方程組 只有一組解。消去 得 （k²+1）x²+（2k-4k²）x+ 4k²-4k=0 。因為方程只有一個解，所以Δ=4k²（1-2k）²-16k（k²+1）（k-1）=0， 解得 k=0 或 所求切線 ξ_l 的方程為 或 4x-3y-5=0 。

2.第93頁練習(xí)第2題：已知直線 4x+ 3y-35=0 與圓心在原點的圓 C 相切，求圓C 的方程。

3.第102頁復(fù)習(xí)參考題2綜合運用第16題：求圓心在直線 y=-2x 上，并且經(jīng)過點A（2，-1） ，與直線 x+y=1 相切的圓的方程。

4.第102頁復(fù)習(xí)參考題2拓廣探索第19題：一條光線從點 A（-2，3） 射出，經(jīng) Ψ_x 軸反射后，與圓 C：（x-3）²+（y-2）²=1 相切，求反射后光線所在直線的方程。

這幾道例題、練習(xí)題既有由直線與圓相切求切線方程或求圓的方程這類基礎(chǔ)題，也有與直線與圓相切相關(guān)的對稱性等綜合應(yīng)用題，可見圓的切線問題在高中數(shù)學(xué)知識體系中占據(jù)重要地位，它既是幾何與代數(shù)結(jié)合的典型范例，也是考查綜合思維能力的關(guān)鍵載體。

在此基礎(chǔ)上，我們可以嘗試對直線與圓相切的問題進行一些深入探討與拓展。

二、兩組重要結(jié)論的推導(dǎo)

1.圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 在點A（x₀，y₀） 處的切線方程。

（1）圓心在原點，過圓 O：x²+y²=r² 上一點 A（x₀，y₀） 處的切線方程。

推導(dǎo)方法一：假設(shè)切線的斜率存在且不為0，可設(shè)其為 k ，則 k?k_OA=-1 。

由koA 得 。

因此，經(jīng)過點 A 的切線方程為：

整理得 x₀x+y₀y=x₀²+y₀² 。

因為點 A 在圓上，所以 x₀²+y₀²=r² 。

所求直線的方程為 x₀x+y₀y=r² 。

當(dāng)切線的斜率不存在或為0，即點 A 在坐標軸上時，上面的方程同樣適用。

點評：這種推導(dǎo)方法是結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，利用圓心與切點的連線垂直于切線，兩條直線的斜率之積等于一1，求出切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程并化簡整理。需要注意對兩條直線斜率的存在性分情況討論。

推導(dǎo)方法二：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)為k ，則直線方程為 y-y₀=k（x-x₀） ，即 kx- y+y₀-kx₀=0， 。 ①

聯(lián)立 消去 得（1+k²）x²+2k（y₀-kx₀）x+y₀²+k²x₀²- 2ky₀x₀-r²=0 。

由 Δ=4k²（y₀-kx₀）²-4（1+k²）（y₀²+ k²x₀²-2ky₀x₀-r²）=0 ，整理得 （r²-x₀²）k² +2x₀y₀k+r²-y₀²=0②

因為 x₀²+y₀²=r² ，所以 ② 式可化為 y₀²k²

解得 代人 ① 式并整理得 x₀x +y₀y=x₀²+y₀²

因為點 A 在圓上，所以 x₀²+y₀²=r² 所求直線的方程為 x₀x+y₀y=r² 。

當(dāng)切線的斜率不存在時，上面的方程同樣適用。

點評：這個推導(dǎo)方法更傾向于代數(shù)方法，但運算比較煩瑣。

在用代數(shù)方法設(shè)直線的方程并整理為一般式后，我們可以考慮結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，直線與圓相切 ? 圓心到直線的距離等于圓的半徑。圓 ∵O（0，0） 到直線的距離等于半徑 r ， ，化簡整理得 （r²-x₀²）k²+ 2x₀y₀k+r²-y₀²=0 。因為 x₀²+y₀²=r² ，所以 y₀²k²+2x₀y₀k+x₀²=0 ，解得

除了上面的基本方法，還可以考慮通過求軌跡方程或向量的方法推導(dǎo)。

推導(dǎo)方法三：求切線的方程即求切線上任意一點 P 滿足的關(guān)系式，可設(shè)直線上異于點 A（x₀，y₀） 的點 P（x，y） 。

因為 OA⊥AP ，所以 ∣OA∣²+∣AP∣²= ∣OP∣² ，即 x₀²+y₀²+（x-x₀）²+（y-y₀）²= x²+y²

整理得 x₀x+y₀y=x₀²+y₀² 。

因為點 A 在圓上，所以 x₀²+y₀²=r² 。

所求直線的方程為 x₀x+y₀y=r² 。

當(dāng)點 P 與點 A 重合時，上面的方程同樣適用。

點評：在推導(dǎo)方法三中，條件 ；也可以用向量法處理， ，_y0） ，則 0，即 x₀（x-x₀）+y₀（y-y₀）=0 ，整理得x₀x+y₀y=x₀²+y₀² 。這種方法的優(yōu)點在于不用考慮直線斜率的存在性問題。

上面研究了圓心在原點時的情況，那么當(dāng)圓心不在原點時，是否能用同樣的方法處理呢？

（2）圓心不在原點，過圓 C：（x-a）²+ （y-b）²=r² 上一點 A（x₀，y₀） 處的切線方程。

顯然上面幾種推導(dǎo)方法對于圓心不在原點處時，也是可以使用的，下面我們選擇其中一種方法來證明。

推導(dǎo)方法一：因為 在圓 C ：（x-a）²+（y-b）²=r² 上，所以 （x₀-a）²+ （2號 （y₀-b）²=r² 成立。

當(dāng)點 A（x₀，y₀） 處的切線斜率存在時，易得切線方程為 。

即 （y₀-b）（y-y₀）+（x₀-a）（x-x₀） =0。

可整理得 （y₀-b）（y-b+b-y₀）+ （x₀-a）（x-a+a-x₀）=0， 0

（y₀-b）（y-b）+（x₀-a）（x-a）- （x₀-a）²-（y₀-b）²=0

將 （x₀-a）²+（y₀-b）²=r² 代入上式并整理，可得 （y₀-b）（y-b）+（x₀-a）（x-a） （204=r²

即過圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 上一點 A（x₀，y₀） 的切線方程為 （x₀-a）（x-a） 0+（y₀-b）（y-b）=r²

我們還可以嘗試通過坐標變換的方法，將圓心不在原點的圓通過平移化歸為圓心在原點時的情形，直接利用（1）的結(jié)論。

推導(dǎo)方法二：將坐標系中的任意點 （x . 按向量 （-a，-b） 平移至點 （x^′，y^′） ，則即 ∣_y-b=_y^′

圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 平移后得到圓 C^′ 的方程為 x^′2+y^′2=r² 。

點 A（x₀，y₀） 平移為 A^′（x₀-a，y₀-b） 利用（1）的結(jié)論可得平移后切線方程為 （x₀- a）x^′+（y₀-b）y^′=r² 0

則平移前的切線方程是 （x₀-a）（x-a） +（y₀-b）（y-b）=r² ，即為所求。

（3）過圓 C：x²+y²+Dx+Ey+F=0O（D² +E²-4Fgt;0） 上一點 A（x₀，y₀） 的切線方程。

當(dāng)已知圓 C 的一般方程 x²+y²+Dx+ Ey+F=0（D²+E²-4Fgt;0） ，我們可以自主探索過圓上一點 A（x₀，y₀） 的切線方程，最終結(jié)果是xoχ＋yoy＋D．xo+ C+E·

2.過圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 外一點 A（x₀，y₀） 的切點弦所在直線方程。

當(dāng)點 A（x₀，y₀） 在圓外時，求過點 A 且與圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 相切的切線，顯然有兩條，當(dāng)直線斜率存在時，我們可以通過設(shè)出直線的點斜式方程，利用“直線與圓相切 ? 圓心到直線的距離等于半徑\"列出關(guān)于斜率 k 的方程求其值，注意不要遺漏直線斜率不存在的情況。

下面我們了解三個預(yù)備知識。

預(yù)備知識1：兩圓的公共弦所在直線方程。

已知圓 C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 與圓 C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，交點分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 。由點M（x₁，y₁） 既在圓 C₁ 上又在圓 C₂ 上，得 x₁² +y₁²+D₁x₁+E₁y₁+F₁=0 及 x₁²+y₁²+

D₂x₁+E₂y₁+F₂=0 都成立，兩式相減得（D₁-D₂）x₁+（E₁-E₂）y₁+F₁-F₂=0 。

同理可得 （D₁-D₂）x₂+（E₁-E₂）y₂+ F₁-F₂=0 。故圓 C₁ 與圓 C₂ 的公共弦所在直線方程為 （D₁-D₂）_X+（E₁-E₂）_Y+F₁- F₂=0 ，顯然此方程可以通過圓 C₁ 與圓 C₂ 的方程相減得到。

預(yù)備知識2：端點圓方程。

已知兩點 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，以線段 MN 為直徑的圓的方程可以利用向量垂直的知識得到 （x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁） ·（y-y₂）=0 ，這個方程被稱為端點圓方程。

預(yù)備知識3：切點弦。

過圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 外一點 A（x₀，y₀） 作圓 C 的兩條切線，設(shè)切點分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，線段 MN 常稱為切 點弦。

接下來我們探討切點弦所在直線方程，先從圓心位于原點處的情況探討。

（1）過圓 C：x²+y²=r² 外一點 A（x₀ ，_y0） 作圓 C 的切線，切點分別為 M（x₁，y₁） ，N（x_?，y_?） ，求切點弦 MN 所在直線的方程。

推導(dǎo)方法一：點 M（x₁，y₁） 處切線方程為 x₁x+y₁y=r² ，點 N（x_：，y_：） 處切線方程為 x₂x+y₂y=r² 。

因為兩切線均經(jīng)過點 A ，所以 x₁x₀+ y₁y₀=r²，x₂x₀+y₂y₀=r² 均成立。

顯然 （x₁，y₁），（x₂，y₂） 均為方程 x₀x+ y₀y=r² 的解。

故 x₀x+y₀y=r² 就是直線 MN 的方程。

點評：這種推導(dǎo)方法一方面利用了圓上某點處切線方程的結(jié)論，另一方面用到了設(shè)而不求的思想。

推導(dǎo)方法二：因為 ∠AMO=∠ANO= 90^° ，所以 M，N 均在以 OA 為直徑的圓上。

以 OA 為直徑的圓的方程為：

（x-x₀）（x-0）+（y-y₀）（y-0）=0

整理得 x²-x₀x+y²-y₀y=0 。 ① 又 M，N 在圓 o 上，故 x²+y²=r² 。

②-① 得 x₀x+y₀y=r² ，即圓 與以O(shè)A為直徑的圓的公共弦所在直線方程，亦即直線 MN 的方程。

點評：這種方法用到已知圓的一條直徑的兩端點的坐標求圓的方程、兩圓公共弦所在直線的方程，將圓的幾何性質(zhì)和圓的方程的知識靈活使用。

在此基礎(chǔ)上，我們不難推廣得到更一般的情況。

（2）過圓 C：（x-a）²+（y-b）²=r² 外一點 A（x₀，y₀） 作圓 c 的切線，則切點弦所在直線的方程為 （x₀-a）（x-a）+（y₀-b） ：（y-b）=r²

（3）過圓 C：x²+y²+Dx+Ey+F=0 （D²+E²-4Fgt;0） 外一點 A（x₀，y₀） 作圓 C 的切線，則切點弦所在直線的方程為 x₀x+

通過以上探討我們得到了圓的切線的幾個結(jié)論，一方面探討過程是對直線與圓位置關(guān)系知識的鞏固和拓展，另一方面也能為我們靈活、便捷地解決與圓的切線有關(guān)的問題提供理論依據(jù)和方法借鑒。

三、圓的切線典型例題分析

例1圓 C₁：（x-1）²+y²=1 與圓C₂：（x-5）²+（y-3）²=36 的公切線的方程為

分析：根據(jù)題意，先判斷兩圓位置關(guān)系，可得兩圓內(nèi)切，然后將圓 C₁，C₂ 化為一般式，兩式相減可得結(jié)果。

解：根據(jù)題意，圓 C₁：（x-1）²+y²=1 與圓 C₂：（x-5）²+（y-3）²=36 ，圓 C₁ 的圓心為（1，0），半徑為1，圓 C₂ 的圓心為（5，3），半徑為6。

因為 =6-1 ，所以兩圓內(nèi)切，只有一條公切線。

將圓 C₁，C₂ 化為一般式得 C₁：x²+y²- 2x=0，C₂：x²+y²-10x-6y-2=0 0

兩式相減得 8x+6y+2=0 ，即 4x+ 3y+1=0 。

所以圓 C₁，C₂ 的公切線的方程為 4x+ 3y+1=0 。

例2已知圓 M：x²+y²-2x-2y-2 =0 ，直線 l：2x+y+2=0，P 為直線 ξ_l 上的動點。過點 P 作圓 M 的切線 PA，PB ，切點為 A，B ，當(dāng) ∣PM∣?∣AB∣ 的值最小時，直線AB 的方程為（ ）。

A. 2x-y-1=0B.2x+y-1=0 C，2x-y+1=0D.2x+y+1=0

分析：由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得 ，說明要使 ∣PM∣?∣AB∣ 最小，則需 ∣PM∣ 的值最小，此時 PM 與直線 ξ_l 垂直。寫出 PM 所在直線方程，與直線 ξ_l 的方程聯(lián)立，求得點 P 坐標，然后寫出以PM為直徑的圓的方程，再與圓 M 的方程聯(lián)立，可得 AB 所在直線的方程。

解：圓 M 的方程可化為 （x-1）²+（y- 1）²=4 ，圓心 M（1，1） ，半徑 r=2 。

。

要使 ∣PM∣?∣AB∣ 的值最小，則需∣PM∣ 的值最小，此時 PM 與直線 ξ_l 垂直。

直線 PM 的方程為 ，即

聯(lián)立 解得 P（-1，0） 。

則以 PM 為直徑的圓的方程為 x²+ ，即 x²+y²-y-1=0 0

聯(lián)立 相減可得直線 AB 的方程為 2x+y+1=0 。

故選 D 。

切線方程體現(xiàn)了直線和圓的位置關(guān)系，綜合運用了距離公式與斜率條件；切點弦方程則揭示了幾何變換規(guī)律、直線與圓的內(nèi)在聯(lián)系。高考中這類問題常作為中檔題出現(xiàn)，考查數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，既訓(xùn)練代數(shù)運算的嚴謹性，又為后續(xù)解析幾何問題奠定基礎(chǔ)，是銜接幾何直觀與代數(shù)推理的重要樞紐。我們可以在后面的學(xué)習(xí)中進行進一步的探索和研究。

（責(zé)任編輯 徐利杰）