剖析隱圓中最值與范圍問題

2025-11-12 00:00:00張璐

中學生數理化·高二版 2025年10期

隱圓問題是指在一些幾何問題中，沒有直接給出圓的相關信息，但通過分析題目條件，可以發現某些點的運動軌跡符合圓的定義，從而將問題轉化為與圓有關的問題來解決。在隱圓問題中，求最值是常見的題型，關鍵在于找出隱圓的圓心和半徑，然后結合幾何圖形的性質來確定最值情況。下面借助隱圓的幾種定義，剖析隱圓中的最值與范圍問題，希望對同學們的學習有所幫助。

一、定點定長型

例1如果圓（x-2a）²+（y-a-3）² =4 上總存在兩個點到原點的距離為1，那么實數 a 的取值范圍是

解析：由題意知，到原點距離為1的點的軌跡是以原點為圓心的單位圓。

因為圓（x-2a）²+（y-a-3）²=4 上總存在兩個點到原點的距離為1，所以此單位圓與已知圓相交。

易知圓（x-2a）²+（y-a-3）²=4 的圓心坐標為（2a，a+3），半徑為2。

所以 lt;2+1 ，解得。

點評：利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱圓，本題利用到原點的距離為1的點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，轉化到此單位圓與已知圓相交求解。

二、到兩定點距離的平方和型

例2已知圓 C：（x+1）²+（y-2）²= 1，點 A（-1，0），B（1，0）。設 P 是圓 c 上的動點，令 d=∣PA∣²+∣PB∣² ，則 d 的最小值為

解析：設 P（x_?，y_?），則 ∣PA∣²=（Φ_x0+

1）²+y²，∣PB∣²=（x-1）²+y²°

∣PA∣²+∣PB∣²=（x₀-1）²+y₀²+ （x₀+1）²+y₀²=x₀²-2x₀+1+y₀²+x₀²+2x₀ +1+y₀²=2x₀²+2y₀²+2=2（x₀²+y₀²）+2， 0

分析可知當 ∣OP∣ 取得最小值時， ∣PA∣² +∣PB∣² 取得最小值。

由圓 C：（x+1）²+（y-2）²=1 知圓心C（-1，2），半徑 r=1 。

易知，則。

點評：本題先求 ∣PA∣²+∣PB∣² 的表達式，再分析取最小值的情況，然后利用定點到圓上一動點的距離關系求出最值。

三、動點 P 對兩定點 A，B 的張角為 90^° （k_?PA?k_?PB=-1 或型

例3已知圓 C：（x-3）²+（y-4）²= 1，點 A（-m，0），點 B（m，0），mgt;0 。若圓 C 上存在點 P ，使得 ∠APB=90^° ，則 Ψ_m 的取值范圍是

解析：由 ∠APB=90^° ，可得點 P 在以AB為直徑的圓上，其方程為 x²+y²=m² ，且與圓 C：（x-3）²+（y-4）²=1 有公共點。

因為兩圓的圓心距為5，所以 ∣m-1∣? 5?m+1 ，解得 4?m?6 。

例4已知 M 是圓 O：x²+y²=1 上一個動點，且直線 l₁：mx-ny-3m+n=0 與直線 l₂：nx+my-3m-n=0（m，n∈R ，m²+n²≠0，相交于點 P ，則 ∣PM∣ 的取值范圍是（）。

0 D.

解析：直線 l₁ 的方程可化為 m（x-3）- n（y-1）=0 ，由可得，。

所以直線過定點 A（3，1）。

直線 l₂ 的方程可化為 n（x-1）+m（y） -3）=0 ，由可得 0 0

所以直線 l₂ 過定點 B（1，3）。

對于直線 l₁…l₂ ，因為 mn-nm=0 ，且 m² +n²≠0 ，所以 l₁⊥l₂ ，即 PA⊥PB 。

線段 AB 的中點為 C（2，2），設點 P（x ，

由直角三角形的幾何性質可得 ∣PC∣= 。

故整理可得（x-2）²+（y-2）²=2 。

因此點 P 的軌跡為圓 C：（x-2）²+ （y-2）²=2 。

因為，所以圓 C 與圓 O 外離。

因此

∣PM∣ 的取值范圍是故選B。

點評：本題中兩條直線都有參數，每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點，并且兩條“動態”直線垂直。本題中兩條直線垂直，連接兩個定點構成線段，分析可知兩條直線的交點必在該線段為直徑的圓上，這是解題的關鍵。

四 ??A，B 是兩個定點，動點 P 滿足 · 為常數）型

例5 已知點 A（2，3），點 B（6，-3），點 P 在直線 3x-4y+3=0 上，若滿足等式的點 P 有兩個，則實數 λ 的取值范圍是

解析：設 P（x，y），則

3），。

代入，得（x-2）（x-1） 6）+（y-3）（y+3）+2λ=0， 0

整理得（x-4）²+y²=13-2λ 。

所以 13-2λgt;0 ，即

由題意知，圓與直線 3x-4y+3=0 相交，圓心到直線的距離所以，解得 λlt;2 0實數 λ 的取值范圍為（-∞，2）。

點評： A∨B 是兩個定點，動點 P 滿足為常數），先利用向量法求出隱圓的方程，再利用直線與圓的位置關系及點到直線的距離公式，求出參數的取值范圍。

五、到兩個定點距離之比為定值型

例6已知圓 C：（x-1）²+（y-1）²= 1，點 P 是圓 C 上的動點， B（2，0），O 是坐標原點，則的最小值為。

解析：設 B^′（m，n），P（x，y），使得 ∣PB∣ ，則（x-2）²+y²=2[（x-m）²+ （y-n）²] 。

整理得 x²-4（m-1）x+y²-4ny+ 2（m²+n²-2）=0 。

即 [x-2（m-1）]²+（y-2n）²=2m²+ 2n²-8m+8=2（m-2）²+2n² 0

驗證可知直線 BB^′ 與圓 C 相交。

從而

所以的最小值為。

點評：本題考查點與圓的位置關系。設B^′（m?n），使得，利用兩點間的距離公式及點 P 滿足的條件可求得，得到直線 BB^′ 與圓 C 相交，則，從而可求得其最小值。

例7在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線 l：y=2x-4 。設圓 C 的半徑為1，圓心在直線 ξ_l 上。若圓 c 上存在點 M ，使 ∣MA∣=2∣MO∣ ，則圓心 C 的橫坐標 a 的取值范圍為（）。

A （20 （204號（2 D.[0，1]

解析：圓心 C 的橫坐標為 a ，則圓心 C 的坐標為（a，2a-4） 0

則圓 C 的方程（x-a）²+（y-2a+4）² （204號=1 。

設 M（x，y），由 ∣MA∣=2∣MO∣ ，可得，整理得 x²+ （y+1）²=4 。

因為圓（x-a）²+（y-2a+4）²=1 與圓x²+（y+1）²=4 有公共點，所以 2-1? ，即 1? 5a²-12a+9≤9 ，解得 5。故選D。

點評：先求得圓 C 的方程，再利用 ∣MA∣ =2∣MO∣ 求得點 M 滿足的圓的方程，進而利用兩個圓有公共點列出關于 a 的不等式，解得 a 的取值范圍即可。

變式訓練：

1.直線 l₁：kx-y+2=0 與直線 l₂：x+ ky-2=0 交于點 P ，當 k 變化時，點 P 到直線 x-y-4=0 的距離的最大值是。

解析：直線 l₁ 過定點 A（0，2），直線 l₂ 過定點 B（2，0），且直線 l₁ 與直線 l₂ 垂直。

所以點 P 在以 AB 為直徑的圓上，圓心C（1，1），半徑，其方程為（x-1）²+ （y-1）²=2 。

因為圓心 C 到直線 x-y-4=0 的距離，所以點 P 到直線 x-y-4=0 的距離的最大值為。

2.圓 C：（x-a）²+（y-a+2）²=1 ，點A（0，2），在圓 C 上存在點 M ，滿足 ∣MA∣²+ ∣MO∣²=10 ，則 a 的取值范圍是。

解析：設 M（x，y），因為 ∣MA∣²+∣MO∣² =10 ，所以 x²+（y-2）²+x²+y²=10 ，即x²+（y-1）²=4 。

因為圓 c 上存在點 M ，滿足 ∣MA∣²+ ∣MO∣²=10 ，所以兩個圓有公共點，即 2- ，解得 0?a?3 。

3.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中。阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點 M 與兩定點 A，B 的距離之比為 λ（λgt;0，λ≠1），那么點 M 的軌跡就是阿波羅尼斯圓。如動點 M 與兩定點的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為 x²+y²=9 。下面我們來研究與此相關的一個問題：已知圓 O：x²+y²=4 上的動點 M 和定點 A（-1，0），B（1，1），則2∣MA∣+∣MB∣ 的最小值為（）。