例析直線方程中的五個易錯點

易錯點1.忽視直線位置關系成立的條件致錯

例1若直線 l₁：ax+2y-2=0 與直線 l₂：x+（a-1）y+（a²+1）=0 平行，則實數 a 的值為（ ）。

A.-1 B.2

C. -2 或1 D.2或-1

錯解：因為直線 l₁：ax+2y-2=0 與直線 l₂：x+（a-1）y+（a²+1）=0 平行，所以 即 ，解得 a=2 或-1 。故選 D 。

錯因剖析：上述解法中，當 a=-1 時，直線 l₁ 的方程為 -x+2y-2=0 ，即 x-2y+2 =0 ，直線 l₂ 的方程為 x-2y+2=0 ，此時 與 l₂ 重合，造成錯解的原因在于判斷兩條直線的位置關系時忽視了平行成立的條件。

正解：因為直線 l₁：ax+2y-2=0 與直線l₂：x+（a-1）y+（a²+1）=0 平行，所以 α（a -1）=2 ，即 a²-a-2=0 ，解得 a=2 或—1。

當 a=-1 時，直線 l₁ 的方程為一 x+2y -2=0 ，即 x-2y+2=0 ，直線 l₂ 的方程為x-2y+2=0 ，此時 l₁ 與 l₂ 重合，不符合題意，舍去。

當 a=2 時，直線 l₁ 的方程為 2x+2y- 2=0 ，即 x+y-1=0 ，直線 l₂ 的方程為 x+ y+5=0 ，此時 l₁ 與 l₂ 平行。

綜上所述， a 的值為2。選B。

易錯點2.忽視直線的斜率不存在致錯

例2直線經過點 A（1，3） ，原點 o 到直線的距離等于1，則此直線的方程為

錯解：由點斜式可設所求直線方程為 y- 3=k（x-1） ，即 kx-y-k+3=0 。因為原點O 到所求直線的距離等于1，所以

1，解得 ，于是所求直線的方程為y－3= ，即 4x-3y+5=0 。

錯因剖析：因為 1，結合圖形可知所求直線應該有兩條，所以上述解法不完全正確。究其原因，是未考慮直線的斜率不存在的情況，另一條直線的斜率恰巧不存在，無法用點斜式方程來表示。

正解： ① 當所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為 x=1 ，符合已知條件。

② 當所求直線的斜率存在時，由點斜式可設所求直線方程為 y-3=k（x-1） ，即kx-y-k+3=0 。因為原點 O 到所求直線的距離等于1，所以 ，解得 k= 3，于是所求直線的方程為y－3= 1），即 4x-3y+5=0 。

綜上，所求直線方程為 x=1 或 4x- 3y+5=0 。

易錯點3.忽視直線方程（截距式）成立 的條件致錯

例3經過點 P（2，3） ，且在 Ψ_x 軸上的截距是在 軸上的截距的2倍的直線方程為

錯解：所求直線在 x 軸上的截距是在 軸上的截距的2倍，可設所求直線的方程為 。因為所求直線經過點 P（2，3） ，所以 ，解得 a=4 ，于是所求直線的方程為 ，即 x+2y-8=0 。

錯因剖析：上述解法中，設直線的截距式方程是有前提條件的，即截距不能為0，否則無意義。實際上本題中的截距可以為0，這時截距式方程就不適用了，造成錯解的原因是沒有深刻理解直線方程（截距式）成立的前提條件。

正解： ① 當所求直線在兩坐標軸上的截距均為0時，設所求直線的方程為 y=kx 。因為所求直線經過點 P（2，3） ，所以 2k=3 ，解得 ，所求直線的方程為 ，即3x-2y=0. 0

② 當所求直線在兩坐標軸上的截距不為0時，因為所求直線在 x 軸上的截距是在 軸上的截距的2倍，所以設所求直線的方程 。因為所求直線經過點 P（2，3） ，所以 ，解得 a=4 ，于是所求直線的方程為 ，即 x+2y-8=0 。

綜上，所求直線方程為 3x-2y=0 或x+2y-8=0 。

易錯點4.混淆斜率與傾斜角的定義及其關系致錯

例4已知直線 ξ_l 的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍，且過點 ，則直線 ξ_l 的方程為（ ）。

錯解：直線 的斜率為 因為直線 ξ_l 的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍，所以直線 ξ_l 的斜率為 于是直線l的方程為y-√3=2√ 即 。故選A。

錯因剖析：上述解法中，誤認為“直線 ξ_l 的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍\"意味著“直線 ι 的斜率是直線 -1=0 的斜率的2倍”，混淆了斜率與傾斜角這兩個概念。

正解：直線 的斜率為 所以直線 的傾斜角為 30^° 。因為直線 ι 的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍，所以直線 l 的傾斜角為60^° ，故直線 ι 的斜率為tan 。直線 ξ_l 的方程為 ，即 。故選 D 。

易錯點5.忽視特殊位置致錯

例5過點 P（0，1） ，且與點 A（3，3） 和B（5，-1） 的距離相等的直線方程是（ ）。

A. y=1

B. 2x+y-1=0

C. y=1 或 2x+y-1=0

D. 2x+y-1=0 或 2x+y+1=0

錯解：由題意知，所求直線與直線 AB 平行。因為直線 AB 的斜率為 ，所以所求直線的斜率為一2。所求直線的方程為y-1=-2（x-0） ，即 2x+y-1=0 。故選 B 。

錯因剖析：所求直線和點 A，B 等距離，需要考慮 A，B 兩點在所求直線的同側和異側兩種情況。上述解法只考慮 A，B 兩點在所求直線的同側，即所求直線與直線 AB 平行，未考慮 A，B 兩點在所求直線的異側，導致漏解。事實上，當所求直線過點 P 和 AB 的中點 M（4，1） 時，也符合題意，由兩點式可得所求直線的方程為 y=1 0

正解： ① 當 A，B 兩點在所求直線的同側時，由題意知，所求直線與直線 AB 平行。因為直線 AB 的斜率為 ，所以所求直線的斜率為一2，于是直線的方程為 y-1= -2（x-0） ，即 2x+y-1=0 。

② 當 A，B 兩點在所求直線的異側時，所求直線過點 P 和 AB 的中點 M（4，1） ，由兩點式可得所求直線的方程為 y=1 。

綜上所述，所求直線的方程為 或2x+y-1=0 。故選 c 。

（責任編輯 徐利杰）