圓上到直線的距離為定值的點的個數問題

在直線與圓的位置關系問題中，圓上的點到直線的距離個數問題值得同學們關注。下面以2025年高考試題為例進行說明。

引例：（2025年新高考I卷第7題）若圓x²+（y+2）²=r²（rgt;0） 上到直線 2的距離為1的點有且僅有2個，那么 r 的取值范圍是（ ）。

A.（0，1） B.（1，3） C. （3，+∞） ） D. （0，+∞）

解析：由題設知該圓的圓心為 （0，-2） ，半徑為 r ，直線 的一般式為 ，圓心 （0，-2） 到該直線的距離 0

由圖1可知要使圓上的點到直線的距離為1的點有且僅有2個，則必須滿足 r-1lt;2

圖1

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題。求解的關鍵是利用數形結合，根據圖形的動態變化列出關于參數的不等式，進而求得參數的取值范圍。

下面我們來看引例的幾個變式。

變式1：已知圓 C：x²-4x+y²-12=0 上有且僅有4個點到直線 l：kx-y+2k=0 的距離為2，則實數 k 的取值范圍是 。

解析：圓 C 的標準方程為 （x-2）²+y²=16 ，它的圓心為（2，0），半徑為4，如圖2所示。

圖2

因為圓 C 上有且僅有4個點到直線 ι 的距離為2，所以圓心 c 到直線 ι 的距離 d 解得

點評：本題的參數是直線的斜率，而直線ξ_l 經過定點 （-2，0） ，要使圓上有4個點到直線l的距離為2，于是利用數形結合，把問題轉化為圓 ∴c 到直線 ξ_l 的距離小于2。

變式2：已知圓 C：（x-2）²+（y-1）²= 36和不過第三象限的直線 l：4x+3y-a= 0，若圓 C 上恰有3個點到直線 ξ_l 的距離為3，則實數 a= 。

A.2 B.4 C.26 D.41

解析：易知圓 C：（x-2）²+（y-1）²=36 的圓心為 C（2，1） ，半徑 r=6 0

因為圓 c 上恰有3個點到直線 ι 的距離 為3，所以圓心 C（2，1） 到直線 ξ_l 的距離 d=

解得 a=-4 或 a=26 。

因為直線 l：4x+3y-a=0 不過第三象限，所以 ，解得 a?0 。

因此 a=26 ，選 c 。

點評：由直線和圓的位置關系知，到直線ξ_l 的距離為3的兩條平行線中一條與圓相交，一條與圓相切，從而得到圓心到直線之間的距離，進而可求出 a 的值，再由直線不過第三象限求出 a 的取值范圍，即可得解。

變式3：已知圓 C：（x+1）²+y²=32 ，直線 ι 與第一、三象限的角平分線垂直，且圓 C 上恰有3個點到直線 ξ_l 的距離為 ，則直線 ι 的方程為（ ）。

A. y=-x-5

B. y=-x+3

C. y=-x-5 或 y=-x+3 D.不能確定

解析：因為直線 ξ_l 與第一、三象限的角平分線垂直，所以設直線 ι 的方程為 y=-x+b 。

易知圓 C：（x+1）²+y²=32 的圓心為 C（-1，0） ，半徑 。

因為圓 C 上恰有3個點到直線 ι 的距離為 ，所以圓心 C（-1，0） 到直線 ι：y= -x+b 的距離為 。

因此 。

解得 b=3 或 b=-5 。

所以直線 ι 的方程為 y=-x-5 或 y= -x+3 。選 c 。

點評：本題利用兩條直線垂直的條件及點到直線的距離公式即可求解，本題與變式2的解題思路相同。

變式4：（多選）已知圓 O：x²+y²=4 ，直線 l：y=x+b ，下列說法正確的是（ ）。

A.當 或 時，圓 o 上沒有點到直線 l 的距離等于1B.當 b=±1 時，圓 o 上恰有3個點到直線 ι 的距離等于1C.當 時，圓 ^° 上恰有3個點到直線 l 的距離等于1D.當 b=±1 時，圓 O 上恰有4個點到直線 ξ_l 的距離等于1

解析：由題設條件知，圓的半徑為2，圓心 o 到直線 l：x-y+b=0 的距離

對于選項A，當 或 時， ，則 dgt;2 0

當 時，由圖3知，圓 O 上有1個點到直線 ι 的距離等于1，故選項A錯誤。

對于選項B，D，當 b= ±1 時， 。由圖4知，圓 o 上恰有4個點到直線 ξ_l 的距離等于1，故選項B錯誤，選項D正確。

圖3

對于選項C，當 時， d=1 。由圖5知，圓 o 上恰有3個點到直線 ξ_l 的距離等于1，故選項C正確。

圖4

圖5

故選 CD 。

點評：先求出圓 ∵O 到直線 ξ_l 的距離 d ，再根據選項中參數 ^b 的取值范圍求得 d 的取值范圍，結合圖形，即可一一判斷。

鞏固練習：

1.已知圓 x²+y²-2x-2y-7=0 ，直線l：y=x+m ，設圓上恰有2個點到直線 ι 的距離等于1，則 Ψ_m 的取值范圍是（ ）。

A. 或

C. 或一

D. 或-

2.已知圓 O：x²+y²=1 上恰有2個點到直線 l：y=kx+1 的距離為 ，則直線 ξ_l 的傾斜角的取值范圍為（ ）。

B D

3.已知圓 C₁：x²-2ax+y²=0（agt;0） ，直線 ，圓 C₁ 上恰有3個點到直線 ξ_l 的距離等于1，則圓 C₁ 與圓 C₂：（x-1）² 的位置關系是（ ）。

A.內切 B.相交 C.外切 D.相離

4.已知直線 l：y=x+b ，圓 O：x²+y²= 4，圓 O 上恰有4個點到直線 l 的距離為1， 則 b 的取值范圍為

參考答案：1.D 2.B 3.B ， ） （責任編輯 徐利杰）