直線方程的多種形式及應用

直線方程作為解析幾何的根基，在高考中很少單獨考查，經常與圓、橢圓、雙曲線和拋物線等其他曲線結合，通過交點問題，位置關系的判斷等形式呈現。解決這類問題的核心在于依據題目所給條件，選用最合適的直線方程。下面將著重梳理高中數學范圍內所學的直線方程的幾種基本形式，通過例題展示各種形式的適用范圍，希望對同學們的學習有所幫助。

一、點斜式

若直線 ι 經過點 P₀（x₀，y₀） ，且斜率為k，則直線 l 的方程為 y-y₀=k（x-x₀） 。

例1 若直線 ξ_l 經過點（2，0）且與直線 垂直，則直線 ξ_l 的方程為（ ）。

A. 2x+y-4=0 B 2x-y-4=0 C ∴x-2y-2=0 D. x+2y-2=0

解析：因為直線 ξ_l 與直線 x垂直，所以直線 l 的斜率為一2，它的方程為 y= -2（x-2） ，即 2x+y-4=0 。故選A。

點評：點斜式適用于已知直線經過一點，點的坐標和直線的斜率已知或可求。需要注意的是當直線垂直于 x 軸時，直線的斜率不存在，此時無法使用點斜式。

二、斜截式

若直線 ι 的斜率為 k ，且與 軸交于點（0，b）（其中 b 為縱截距），則直線 ι 的方程為y=kx+b 。

例2直線 ξ_l 的方向向量為（1，3），且在 軸上的截距為一2，則直線 ι 的斜截式方程為

解析：由題意知，直線 ξ_l 的斜率 k=3 ，在 軸上的截距為一2，則直線的斜截式方程為y=3x-2 。

點評：斜截式適用于已知直線的斜率和與 軸的交點，但是斜截式同樣要求斜率k存在，當直線垂直于 x 軸時無法使用。同時斜截式是點斜式的特殊情況，斜截式的形式更直觀，常用于判斷兩條直線的平行（斜率相等且截距不相等）或垂直（斜率之積為一1）關系。

三、兩點式

若直線 ξ_l 經過兩點 P_l（x₁，y₁） 和 P₂（x₂ ，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂） ，則直線 l 的方程為

例3已知直線 l₁：y=2x-1 過點A（-2，b） ，若直線 l₂ 過點 B（6，3） 及點 A 關于坐標原點的對稱點，則直線 l₂ 的方程為（ ）。

A. x+2y-12=0 B. x+2y+12=0 C ?-2y=0 D. 2x-y=0

解析：已知直線 l₁ 過點 A（-2，b） ，代人直線方程得 b=-5 ，即 A（-2，-5） ，則點 A 關于坐標原點的對稱點為 A^′（2，5） 。因為直線 l₂ 過 B，A^′ 兩點，所以直線 l₂ 的方程為 2-6，即x+2y-12=0。故選A。

點評：兩點式適用于已知直線上兩個不同點的坐標，且兩點的橫坐標、縱坐標均不相等。但是當直線垂直于 x 軸 Φ_?x1=x₂ 或垂直于 軸 （y₁=y₂） 時，兩點式不適用，需要直接寫為x=x或y=y1。

四、截距式

若直線與 x 軸交于點 （a，0） （橫截距為 ，與 軸交于點（0，b）（縱截距為b），且a≠0，b≠0，則直線l的方程為

例4已知 A（3，0），B（0，4） ，直線 AB 上有一個動點 P（x，y） ，求 _xy 的最大值。

解析：直線 AB 的方程為 ，動點 P（x，y） 在直線上，則

所以 ，即當點 P 的坐標為 時， xy 取得最大值3。

點評：截距式方程的適用條件是 a≠0 ，b≠0 ，即直線 ι 在兩條坐標軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直（平行）于坐標軸的直線。

五、一般式

對于任意直線，均可表示為 Ax+By+ C=0 ，其中 A，B 不能同時為 0（A²+B²≠ 0）。當 B≠0 時，方程 Ax+By+C=0 可以寫成 ，它表示斜率為 B，在 軸上的截距為 的直線。特別地，當A=0時，y= ，它表示垂直于 軸的直線；當 B=0 時， ，它表示垂直于 x 軸的直線。

例5 已知直線 l₁：x+（1+a）_y=2+ a 與直線 l₂：2ax+4y=-16 ，則下列說法不正確的是（ ）。

A.當 a=1 時， l₁//l₂

B.當 a=-2 時， l₁ 與 l₂ 重合

C.當 時， l₁⊥l₂

D.當 a=0 時， l₁ 與 l₂ 交于點（6，-4）

解析：對于選項A，當 a=1 時， l₁：x+2y =3，l₂：2x+4y=-16 ，即 l₂：x+2y=-8 ，則 l₁//l₂ ，故選項A正確。

對于選項B，當 a=-2 時， l₁：x-y=0 ，l₂：-4x+4y=-16 ，即 l₂：x-y=4 ，則 l₁ 與l₂ 不重合，故選項B錯誤。

對于選項C，當 時， 。因為 ，所以 l₁⊥l₂ ，故選項C正確。

對于選項D，當 a=0 時， l₁：x+y=2 l₂ 4y=-16 ，即 l₂：y=-4 。

由 得 所以 l₁ 與 l₂ 交于點 （6，-4） ，故選項D正確。

故選B。

點評：直線的一般式方程是直線方程中較為常用的表達式，它適用于任何一條直線。

在高考中，直線與圓、橢圓等曲線的綜合問題，往往需要先根據條件確定直線方程的形式，再通過聯立方程，利用判別式或韋達定理求解。熟練掌握各種形式的適用場景，才能在解題中高效轉化，為復雜問題的突破奠定基礎。直線方程作為解析幾何的“敲門磚”，其重要性不僅在于自身的形式，更在于它連接代數運算與幾何性質的橋梁作用這正是解析幾何的核心思想。

練一練：

1.已知直線 l₁：mx+3y+1=0 和 l₂ ：x+（m+2）y+2m-1=0， 。

（1）若 l₁//l₂ ，求實數 Ψ_m 的值；

（2）若不經過坐標原點的直線 l₂ 在兩個坐標軸上的截距相等，求實數 Σ_m 的值。

參考答案：（1）實數 Ψ_m 的值為一3。

（2）實數 Ψ_m 的值為一1。

2.已知直線 ι：（a-1）_Y=（2a-3）_X+1 U

（1）求直線 ξ_l 所過定點的坐標；（2）若直線 ι 不經過第四象限，求實數 a 的取值范圍；（3）若直線 ι 與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積最小，求直線 ξ_l 的方程。

參考答案：（1）直線 ξ_l 過定點（1，2）。

（2）實數 a 的取值范圍是

（3）直線 ξ_l 的方程為 2x+y-4=0 。

（責任編輯 徐利杰）