例說(shuō)四類特殊的圓

圓，是一個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單，實(shí)際上十分奇妙的形狀。2000多年前，墨子（約公元前468一前376 年）給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長(zhǎng)也。意思是說(shuō)：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離都相等。下面舉例分析四類特殊的圓，即阿氏圓、蒙日?qǐng)A、康威圓和九點(diǎn)圓。

一、阿氏圓

例1 （江蘇揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)2024年高二月考）（多選題）已知在平面直角坐標(biāo)系 _xOI 中， A（-2，0），B（4，0） 。點(diǎn) P 滿足 ，設(shè)點(diǎn) P 所構(gòu)成的曲線為 C ，下列結(jié)論正確的是（ ）。

A.曲線 C 的方程為 （x+4）²+y²=16 B.在曲線 C 上存在點(diǎn) D ，使得點(diǎn) D 到點(diǎn)（1，1）的距離為3C.在曲線 C 上存在點(diǎn) M ，使得 |MO∣= 2|MA| （2D.曲線 C 上的點(diǎn)到直線 3x-4y-13= 0的最小距離為1

解析：設(shè) ，則 整理得 4（x+2）²+4y² =（x-4）²+y² ，即 （x+4）²+y²=16 ，故A正確。

因?yàn)榍€ C 是以 C（-4，0） 為圓心，4為半徑的圓，所以點(diǎn)（1，1）到 C（-4，0） 的距離 d ，故曲線 c 上的點(diǎn)到（1，1）的距離的取值范圍為 ， 4]。顯然 ， ，故B正確。

設(shè) ，由 ∣MO∣=2∣MA∣ ，得m²+n²=4（m+2）²+4n² ，即 ，故點(diǎn) M 的軌跡是以 為圓心 為半徑的圓。而 ，故點(diǎn) M 的軌跡在曲線 C 內(nèi)，即兩圓為內(nèi)含關(guān)系，故C錯(cuò)誤。

因?yàn)辄c(diǎn) C（-4，0） 到直線 3x-4y-13= 0的距離 ，所以曲線 c 上的點(diǎn)到直線 3x-4y-13=0 的最小距離為 h-4=1 ，故 D 正確。

故選ABD。

評(píng)注：古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名。他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) A，B 的距離之比為定值 λ（λ≠1） 的點(diǎn)所形成的圖形是圓。后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓。

二、蒙日?qǐng)A

例2（湖北楚天教科研協(xié)作體2025年高二期中考試）已知橢圓 的蒙日?qǐng)A方程為 x²+y²=a²+b² 。若圓 （x- 4）²+（y-n）²=16 與橢圓 的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則 n 的值為（ ）。

解析：對(duì)于橢圓 ，其中 α²=6 ，b²=3 ，根據(jù)蒙日?qǐng)A方程 x²+y²=a²+b² ，可得該橢圓的蒙日?qǐng)A方程為 x²+y²=6+3= 9，其圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑 r₁=3 。

圓 （x-4）²+（y-n）²=16 ，其圓心坐標(biāo) 為 （4，n） ，半徑 r₂=4 。

因?yàn)閮蓤A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓內(nèi)切或外切。

當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和。

兩圓的圓心距 ，由 d=r₁+r₂ ，得 3+4=7 ，兩邊平方得 16+n²=49 ，解得 n²= 33，則 。

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差的絕對(duì)值。

由 d=∣r₁-r₂∣ ，得 1，兩邊平方得 16+n²=1? （無(wú)解）。

綜上， n 的值為士 。

故選B。

評(píng)注：蒙日?qǐng)A是19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日提出的。當(dāng)兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，分兩圓內(nèi)切或外切兩種情況。

三、康威圓

例3（福建晉江五校 2025 年聯(lián)考）“康威圓定理\"是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威引以為豪的研究成果之一。其定理的內(nèi)容為：ΔABC 的三條邊長(zhǎng)分別為 ∣BC∣=α，∣AC∣ =b，∣AB∣=c ，延長(zhǎng)線段 CA 至點(diǎn) A₁ ，使得|AA₁|=a ，延長(zhǎng)線段 AC 至點(diǎn) C₂ ，使得∣CC₂∣=c ，以此類推得到點(diǎn) A，B，B，C_ι ，那么這六個(gè)點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱為康威圓。已知 a=4，b=3，c= c=5 ，則由 ΔABC 生成的康威圓的半徑為（ ）。

A. B.

C. D.

解析：因?yàn)?a=4，b=3，c=5 ，即 a²+b²= c² ，所以 ΔABC 為直角三角形， ∠ACB=90^° 。

如圖1，設(shè) M 是由ΔABC 生成的康威圓的圓心，因?yàn)?|A₁C₂|= ∣A₂B₁∣=∣B₂C₁∣=a+ （204b+c ，所以 M 到直線AB，BC，CA 的距離相等，從而 M 是直角ΔABC 的內(nèi)心。

圖1

作 MN⊥AC ，交 AC 于 N ，連接 MC₂ ，則 ，所以 ∣MC₂∣= ，即由 ΔABC 生成的康威圓的半徑為 。

故選A。

評(píng)注：在同圓或等圓中，圓心到相等弦所在直線的距離相等。

四、九點(diǎn)圓（歐拉圓）

例4（河北秦皇島 2025 年高三聯(lián)考）平面幾何中有一個(gè)著名的定理： ΔABC 的三條高線的垂足、三邊中點(diǎn)及三個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線段的中點(diǎn)共圓，該圓稱為ABC的九點(diǎn)圓或歐拉圓。若 A（-2，1），B（4，1），ΔABC 的垂心為 G（3，3） ，則 ΔABC 的九點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）。

A B C D.

解析：因?yàn)?A（-2，1），B（4，1），G（3，3） 所以 AB 的中點(diǎn)為 D（1，1），AG 的中點(diǎn)為 的中點(diǎn)為

設(shè) ΔABC 的九點(diǎn)圓方程為 x²+y²+ mx+ny+t=0 ，代人 D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得

解得 即 x²+ ，則△ABC的九點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

故選 c 。

評(píng)注： ΔABC 的三條高線的垂足、三邊中點(diǎn)及三個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線段的中點(diǎn)是該三角形中的特殊點(diǎn)，可設(shè)圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求圓的方程。

（責(zé)任編輯 趙倩）