角度不變 圓來相伴

1.試題呈現

已知點 ，動點 P（x） ，_y）（y）?1） 滿足 ∠APB=120^° ，若點 P 的軌跡與直線 3x+b有兩個公共點，則b的值可以是（ ）。

2.試題分析與解答

分析：此題易得丨AB|為定值，所對的∠APB 為定角，易聯想到在同一圓中，同弦所對的圓周角相等，故可設點 P 在以 C 為圓心的圓周角為 120^° 的劣弧上運動 （A，B 兩點除外），取 AB 的中點 D ，連接 CD，AC ，先求出點 P 的軌跡方程，再求出直線與圓相切時b 的值，然后結合圖形可求得結果。

方法1（利用外接圓）

由 及 ∠APB=120^° ，得點P（x，y）（y?1） 在以 c 為圓心的圓周角為120^° 的劣弧上運動 （A，B 兩點除外）， ∠ACB= 120^° 。如圖1，取 _AB 的中點 D ，連接 CD，AC ，則 CD ，所以 |AC|= 2 ，|CD|=1 。因此點 ，點 P 的軌跡方程為 。由 ，解得 。當直線 過點 A（0，1） 時， b=1 。結合圖1，由點 P 的軌跡與直線 兩個公共點，得 ，而只有 故選 c 0

圖1

點評：方法1充分利用線段的不變與對應角在運動中的不變性，聯想到在圓中同弦所對應的圓周角的關系，建立動點的軌跡，從而獲得解答。

方法2（利用正弦定理）

設△ABP的外接圓半徑為 r ，圓心為 C 則 ，所以 r=2 。因AB 的中點 ，故 |CD∣=1 ，點 ，0），因此點 P 的軌跡方程為 。下同方法1。

點評：方法2在方法1的基礎之上進一步優化，即求三角形的外接圓，利用已知三角形的對邊與對角聯想到正弦定理，解得外接圓的半徑，進一步求得圓心，從而獲得解答。

方法3（利用斜率關系）

設直線 AP 的傾斜角為 α ，則直線 BP 的傾斜角為 α+120^° 。由 P（x，y），得 tan α=y-1. ， tan（α+120^°）= ，消去 α 得點 P 的軌跡方程為 （x- 。下同方法1。

點評：方法3利用斜率關系建立等式，挖掘題目中的隱含關系，即探究兩條直線的斜率關系。此方法來源于兩條直線的垂直關系，從而探究出圓。

方法4（利用余弦定理）

因為 ，所以在 ΔABP 中，由余弦定理可得cos 120^°= 整理得 1）² ，即 。故點 P 的軌跡方程為 1）或 （結合圖形舍去）。下同方法1。

點評：方法4利用余弦定理建立等式，是一種通性通法，但運算量較大，考查同學們的運算能力。注意產生了增解，這一增解從何而來？發現是在第二步將式子兩邊平方與原式不是恒等變形，應選取圓心在直線 AB 的下方才滿足題意。

小結：通過一題多解發現，對于此類定邊定對角試題，方法1、2、4是通解，其中方法2是優解。對于方法3，如果點 A，B 的連線不垂直于坐標軸，那么利用斜率不容易解答，有興趣的讀者可以進行變式試一試。

3.變式練習

變式1.已知點 A（2，4），B（4，4） ，動點 P 滿足 PA⊥PB ，則 |OP∣（O 為坐標原點）的最小值為（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

解：因為 PA⊥PB ，所以點 P 在以 AB 為直徑的圓上，圓的方程為 （x-3）²+（y- 4）²=1 ，因此 ∣OP∣ 的最小值為圓心到原點的距離減去半徑，即 5-1=4 。故選B。

變式2.已知直線 l₁：a²x+y-3a²-5= 0與 l₂：x-a²y+3a²-5=0 相交于點 P ，點Q 在圓 x²+y²=2 上，則（ ）。

A. ∣PQ∣ 有最大值 B. ∣PQ∣ 有最大值 C. ∣PQ∣ 有最小值 D. ∣PQ∣ 有最小值

解：直線 l₁：a²x+y-3a²-5=0 可變形

為 a²（x-3）+（y-5）=0 ，令 解得0

0所以直線 l₁ 恒過定點 A（3，5） 。直線.

l₂：x-a²y+3a²-5=0 可變形為 （x-5）- 0

a²（y-3）=0 ，令 解得 所以.

直線 l₂ 恒過定點 B（5，3） 。因為 α²×1+1× （-a²）=0 ，所以 l₁⊥l₂ ，即 PA⊥PB ，則點 P 在以 AB 為直徑的圓上。若 a=0 ，則 l₁ 為 =5，l₂ 為 x=5 ，此時點 P（5，5） ；若 a≠0 ，則 l₁ 的斜率 k₁=-a²lt;0，l₂ 的斜率 gt;0，此時點 P（x，y） 滿足 xgt;3，ylt;5 。已知 A（3，5） ，B（5，3） ，則 AB 的中點 C（4，4），∣AB∣= ，因此點 P 的軌跡方程為 （x-4）²+（y-4）²=2（xgt;3，y?5） 。已知圓 x²+y²=2 的圓心 O（0，0） ，半徑為 ，則 。因此∣PQ∣ 的最大值為兩圓心距離加兩圓半徑，即 。由于點 P 的軌跡不包含點（3，3），故不存在最小值，選 A 。

變式3.已知 A（0，1），B（2，1），F（1，0） ，動點 P 滿足 ，若 ，則直線 OM（O 為原點）斜率的最大值為（ ）。

解：設M（x，y），由PM= F（1） 0），得點 M 為 PF 的中點， P（2x-1，2y） 。又 A（0，1），B（2，1） ，則 _2y） ， ，因此 =（1-2x）（3-2x）+（1-2y）（1-2y）= 4（x-1）²+（1-2y）²-1=0 ，即 （x-1）²+ ，故點 M 在以 為圓心 為半徑的圓上。設直線 OM（O 為原點）的斜率為 k ，則當直線 OM 與圓 N 相切時，直線OM的斜率取得最大值，此時 OM .kx-y=0 ，且圓心 到直線 OM 的距離等于半徑 ，即 解得 或 k=0 （舍去），所以直線 OM（O） 為原點）斜率的最大值為 故選 B 。

（責任編輯趙倩）