系列問題循序驅(qū)動深度建構(gòu)概念意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“在教學(xué)活動中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量的要求，合理設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，并通過相應(yīng)的教學(xué)實施，在學(xué)生掌握知識技能的同時，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升及水平的達(dá)成.”1概念課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一種課型，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提升學(xué)生的思維品質(zhì)有著至關(guān)重要的作用.在概念的教學(xué)中，切不可直接給學(xué)生灌輸概念，而是需要創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，精心設(shè)計適切的問題鏈，激發(fā)學(xué)生探究新知的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程，深度理解概念，發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1教材分析

周期性變化現(xiàn)象隨處可見，三角函數(shù)是刻畫客觀世界周期性變化規(guī)律的一類最典型的函數(shù)模型.“任意角\"是人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》的內(nèi)容.它將角的范圍推廣到任意角，拉開了學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識的序幕.在大單元教學(xué)指導(dǎo)下，本節(jié)內(nèi)容在本章中起著至關(guān)重要的作用：其一，將之前所學(xué)角的概念推廣到包含旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量兩個要素的動態(tài)定義，為三角函數(shù)概念奠定基礎(chǔ)；其二，角的范圍擴展到任意角后，角的運算意義也隨之得到擴展，賦予兩角和全新的意義，為三角恒等變換作鋪墊；其三，“終邊相同的角”用代數(shù)方法描述周期現(xiàn)象，直接體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性來源.

2學(xué)情分析

在初中階段，學(xué)生不僅接觸過角的動態(tài)定義，而且研究了限制在 0^°～360^° 范圍內(nèi)的很多角，給角的概念的推廣奠定了知識基礎(chǔ).在實際生活中，學(xué)生觀察到一些角的范圍超出 0^°～360^° ，這使得角的概念的推廣具備現(xiàn)實需要.學(xué)生學(xué)習(xí)過用正負(fù)號來區(qū)分具有相反意義的量，并且在數(shù)軸上研究數(shù)，這不僅為角的概念的推廣指明了方向，也為借助直角坐標(biāo)系研究角提供了思路.然而，高中學(xué)習(xí)的角抽象程度更高，對學(xué)生的邏輯思維要求更嚴(yán)格.由于部分學(xué)生停留在實際現(xiàn)象的表層描述，教師需要引導(dǎo)學(xué)生逐步擺脫實際模型，抽象出數(shù)學(xué)概念，啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，提升邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3教學(xué)目標(biāo)及重難點

教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）通過實際問題體會引入任意角的必要性；經(jīng)歷引入任意角的過程，能夠抽象出任意角的概念，培養(yǎng)從特殊到一般的思想，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).（2）類比實數(shù)可以在坐標(biāo)軸上表示，能夠?qū)⒔呛侠淼胤旁谥苯亲鴺?biāo)系中進(jìn)行研究，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象素養(yǎng).（3）會判斷象限角，掌握終邊相同的角的集合表示方法，培養(yǎng)分類討論思想，提升邏輯推理素養(yǎng)，

教學(xué)重難點如下.

（1）教學(xué)重點： ① 任意角的概念； ② 終邊相同 的角.

（2）教學(xué)難點： ① 任意角概念的形成過程； ② 終邊相同的角的集合表示.

4教學(xué)過程

4.1問題情境

情境1請思考如何描述下列圖片中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

情境2觀察時鐘，思考下列問題.

（1）若時鐘慢了10分鐘，如何旋轉(zhuǎn)分針才能使其回到正確的時間？（2）若時鐘快了10分鐘，如何旋轉(zhuǎn)分針才能使其回到正確的時間？（3）若時鐘快了70分鐘，如何旋轉(zhuǎn)分針才能使其回到正確的時間？

問題1 初中如何定義 0^° 到 360^° 的角？

【設(shè)計意圖】情境1中兩張圖片貼近學(xué)生的生活，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.其中涉及的角超出了0^°～360^° ，可引發(fā)學(xué)生的思考.情境2通過實際動手操作，讓學(xué)生感受到旋轉(zhuǎn)不僅要關(guān)注旋轉(zhuǎn)量，還要關(guān)注旋轉(zhuǎn)方向，即使是相同的旋轉(zhuǎn)量，旋轉(zhuǎn)方向不同會達(dá)到不同的效果，這使學(xué)生進(jìn)一步體會到推廣角的概念的必要性，并為推廣指明了方向.情境2中第（1）小題所得到的角和第（2）小題所得到的角旋轉(zhuǎn)的量相同，旋轉(zhuǎn)的方向不同，為后面學(xué)習(xí)負(fù)角埋下伏筆；情境2第（3）小題所得的角可看作兩角相加中 360^°+60^°） ，為后面學(xué)習(xí)任意角的加法運算提供幾何直觀支撐.情境2中第（2）小題所得到的角和第（3）小題所得到的角的終邊相同，又為后面學(xué)習(xí)終邊相同的角作鋪墊.問題1引導(dǎo)學(xué)生回憶初中角的定義，為角的概念的推廣奠定知識基礎(chǔ).

4.2知識建構(gòu)

問題2如何推廣角的概念？

【設(shè)計意圖】首先，在初中知識儲備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中抽象出正角、負(fù)角的概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).其次，引導(dǎo)學(xué)生完成概念的推廣，提升學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.最后，在概念推廣后，使用GeoGebra軟件給學(xué)生動態(tài)展示任意角，讓學(xué)生直觀感受角的動態(tài)變化過程

問題3 情境2中第（1）小題所得的角和第（2）

小題所得的角有什么關(guān)系？

【設(shè)計意圖】推廣角的概念后，再回到情境2中，類比研究實數(shù)的方法，用特殊到一般的方法抽象出負(fù)角的概念.這也為推廣角的運算作鋪墊.

問題4兩個任意角如何進(jìn)行加減運算呢？

【設(shè)計意圖】這個問題不僅是將初中所學(xué)角的加法運算推廣到任意角的加法運算，更是讓學(xué)生從形的角度感受角的加法運算.研究角的減法運算時，同樣可以借鑒實數(shù)減法的思路，減去一個角可以看成加上這個角的相反角.

問題5實數(shù)可以放在數(shù)軸上研究，那么角能放在哪里研究呢？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生將角合理地放在平面直角坐標(biāo)系中，將角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，根據(jù)角的終邊所在的位置得到象限角和軸線角的概念.在此標(biāo)準(zhǔn)下討論，不僅使討論變得簡單，還能使角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象得到有效表示.在討論過程中，教師使用GeoGe-bra軟件動態(tài)展示象限角和軸線角，不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).

練習(xí)請在直角坐標(biāo)系中畫出 420^°，210^° 、-150^°，-240^°

【設(shè)計意圖通過在直角坐標(biāo)系中畫這幾個具體的角，學(xué)生既能體會到任意一個角都能在直角坐標(biāo)系中找到唯一的終邊與之對應(yīng)，又能發(fā)現(xiàn)具有相同終邊的角之間相差了 360^° 的整數(shù)倍，這為后面用集合表示終邊相同的角做準(zhǔn)備.

問題6在直角坐標(biāo)系中，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線 OB ，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？

【設(shè)計意圖】在學(xué)生通過GeoGebra軟件直觀感知終邊位置的周期性，并動手畫出了終邊相同的角之后，引導(dǎo)學(xué)生歸納出終邊相同的角的集合表示方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

4.3應(yīng)用新知

例1在 0^°～360^° 范圍內(nèi)找出與 -950^°12^′ 角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生體會：在 0^°～360^° 范圍內(nèi)可以找到一個與任意已知角終邊相同的角.相較于直接判斷諸如一 950^°12^′ 這類角所在的象限，用 0^°～ 360^° 內(nèi)且與它終邊相同的角更容易判斷角的象限.這一過程滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，提升了學(xué)生

的思維能力.

例2寫出終邊在直線 y=x 上的角的集合.

變式1寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.

變式2寫出終邊在第一象限的角的集合.

【設(shè)計意圖】例2與例1相呼應(yīng)，讓學(xué)生表示給定終邊位置的角的集合.例2中，角的終邊有兩種情況，先分別尋找在 0^°～360^° 內(nèi)與之對應(yīng)的角，再利用終邊相同的角的表示方法寫出相應(yīng)的集合，最終把兩種情況合在一起，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表示方式的簡約性.此外，本例可以從形入手，觀察到角的終邊每旋轉(zhuǎn) 180^° 就會落在直線上，推斷出終邊落在直線上的兩個角之間相差 180^° 的整數(shù)倍，從而得到本題的答案，這滲透了數(shù)形結(jié)合思想.變式1的設(shè)計意圖是進(jìn)一步鞏固例2的思想方法，同時讓學(xué)生熟悉終邊落在坐標(biāo)軸上的角.變式2的設(shè)計意圖是例2的一種提升，角的終邊不再落在某條直線上，而是落在第一象限，有無限種可能.對于這樣的問題，雖然方法跟例2類似，均是先在 0^°～360^° 內(nèi)找到符合條件的角的范圍，再加上 360^° 的整數(shù)倍，但需要引導(dǎo)學(xué)生用不等關(guān)系來表示符合條件的角，這鍛煉和提升了學(xué)生的思維能力.

4.4歸納總結(jié)

問題7本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？問題8本節(jié)課用到了哪些思想方法？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理本節(jié)課的內(nèi)容，明晰本節(jié)課研究的必要性及研究的順序和方法，構(gòu)建角的認(rèn)知體系，從而對任意角有一個全面的認(rèn)識.

5反思討論

5.1真實的問題情境是構(gòu)建概念的前提

數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號.精心設(shè)計真實、適切的問題情境既能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識與生活的緊密聯(lián)系，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能讓學(xué)生自發(fā)思考如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.本節(jié)課中這兩個真實情境呈現(xiàn)的角雖然合理，但超出了學(xué)生已學(xué)過的角的范圍，這讓學(xué)生有充分的理由開始思考如何推廣角的概念.情境中展現(xiàn)的角也為推廣角的概念指引了方向.

5.2自主探索是建構(gòu)概念的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)教育是教師帶領(lǐng)學(xué)生重走數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)之旅.用核心問題串聯(lián)各個子問題，搭建教學(xué)主線，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)的過程，獲得對新知識的深刻理解.本節(jié)課從解決實際問題人手，在回顧舊知的基礎(chǔ)上，自主完成任意角的建構(gòu)，再通過一些問題引導(dǎo)學(xué)生對任意角的運算以及分類展開一系列的研究，達(dá)到對概念的深入理解，強化概念的構(gòu)建過程.

5.3建構(gòu)概念的過程是提升核心素養(yǎng)的有效途徑

章建躍教授在第四屆中國基礎(chǔ)教育論壇上主張通過“情境一問題一活動一結(jié)果\"這種教學(xué)活動設(shè)計，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以生動且全面地落實在課堂上.本節(jié)課精心設(shè)置各個教學(xué)環(huán)節(jié)，通過提出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的各個問題，讓學(xué)生經(jīng)歷概念生成的完整過程，把握概念的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).通過設(shè)置合理且有梯度的例題和變式，讓學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題，進(jìn)而提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）M.北京：人民教育出版社，2020.