高中生數學運算能力培養研究

向量運算作為一種重要的數學工具，能夠精確地描繪和解析現實世界中的各種事物，從而深入地理解和處理實際問題.因此，平面向量的運算在數學中扮演著重要的基礎角色.本文詳細探討高中生在學習平面向量時的計算情況，深入分析影響學生數學計算能力的各種因素，探究高中生數學運算能力薄弱的內在成因，并針對這些因素制定具體的教學方案，旨在提升高中生的數學運算能力.

1構建向量運算體系，養成良好習慣

向量作為高中數學中重要的計算載體，具有獨特的運算規律，其運算方法在各個數學領域可能產生交叉影響.因此，學習平面向量的過程就是由向量的理論知識與其應用規律一起構建完整的向量運算框架的過程.對照其他內容可以發現，平面向量涵蓋的運算規律眾多，而且彼此關聯性極強.因此，學生需要整理出平面向量的運算規律，并創設平面向量運算結構.若學生能夠構建一個圖形化的向量運算框架，把分散的向量內容與向量運算規律融為一體，這對于提升平面向量的運算能力具有重要的價值，也能夠對學生的運算習慣產生積極影響.通過這種方式，學生可以將教師提供的解題方法與自身思維方式進行對比，從多個角度去思考問題，從而提升自身思維能力.

在數學學習過程中，學生需要整理和概括重要的學習策略.通過對平面向量的相關知識、解決問題的策略和考試技能的整理概括，構建知識結構，從而提升應試能力.在遇到問題時，學生應避免急于求解，而應通過深度思考嘗試自主解決問題.部分學生沒有良好的運算習慣，如不用草稿紙、不檢查運算結果、不總結運算規律等，這些不良習慣制約了他們運算能力的提升.[學生需要以嚴謹的態度面對學習任務與測驗，通過模擬實際的測驗環境來培養臨考心態，遵守測驗的準則與標準，并且加強對時間的把控.在完成作業時，學生需要嚴格遵守解題程序，重視解題過程的規范性和效率，如使用一個固定的草稿本，而非在桌面或試卷上進行隨意書寫.學生如果沒有準備草稿本，只是在題目間隙處進行演算，則不僅影響了美觀，也容易導致計算錯誤.

2重視向量運算價值，培養運算興趣

數學運算在日常生活中具有普遍性意義.作為一種基礎性分析工具，數學方法在學術研究、職業實踐及日常問題解決過程中發揮著關鍵性作用，其中平面向量作為重要的數學工具，在解決現實問題方面具有基礎性的應用價值.基于此，學生應當系統地開展數學運算方法研究，并通過持續訓練不斷提升運算能力.

首先，學生應當深入理解平面向量的基本性質及其在現實問題中的應用價值.在數學領域，平面向量被視為核心理論的一部分，擁有自身的屬性以及運算方式.在數學領域，這些屬性和運算規則被廣泛運用，如在物理學中的速度合成和力的分解等.解答真實的問題有助于學生深入理解并掌握平面向量的定義及其運算方法，也有助于提升他們解決真實問題的能力.其次，在教師糾正錯誤后，學生應自主訂正錯題，并定期梳理平面向量錯題集，避免同類錯誤反復發生.

在高中數學教學中，運算能力是學生掌握數學知識、解決數學問題的基礎.2在學習平面向量時，學生的運算能力不足往往源于對該知識模塊的學習動機不足.當面對平面向量的運算問題時，學生易產生畏難情緒與抵觸心理，進而影響其運算自信.因此，激發學生的興趣至關重要.首先，學生對數學的學習興趣不僅僅依賴于課堂教學，還需在輕松愉快的環境中逐步激發熱情，提高對數學的敏感性，這對平面向量運算能力的提升具有深遠影響；其次，在處理平面向量問題時，學生需要保持理性思維，系統分析問題并構建解題思路，同時要留意教師強調的細節性問題.向量連接了幾何和代數，因而充分體現了數學中的數形結合思想.

例如，唐代高僧玄奘西行的故事廣為人知，玄奘法師從長安（今西安）出發，途經現今中國新疆地區，最終抵達古印度并取得佛經，位移圖如圖1所示.從圖中可以看出，位移 ，這種方式不僅引入了向量加法的運算，也以學生熟知的故事為基礎，激發了他們對向量運算的學習熱情.

圖1玄奘西行位移圖

3明晰向量運算本質，提高運算意志

為了深入地掌握向量運算的實質，學生需要對向量的本質有深刻的理解.在數學領域，向量是一種具有大小和方向的量，其長度（或大小）就是其模長.因此，需要根據向量的大小和方向這兩個核心要素來深入理解其本質.例如，學生必須明白共線向量與相等向量的含義，這并非只是基于字面的理解，而是需要深度把握向量的實質.此外， 的運算方式在平面向量中的應用，為學生引入了新的計算方式.因此，學生需要深入理解數值乘法和向量乘法之間的差異，明確向量運算的核心.心理學中的意志是決策者為了實現特定目標所形成的精神狀態.因此，在研究平面向量的計算過程時，學生需要首先掌握其基礎知識，然后堅定地解決這個問題.同時，學生需要對平面向量的問題保持耐心，深入探索其中的隱含信息.

情境1依然采用前文提到的玄奘西行的案例.

向量的加法的定義：求兩個向量之和的運算被稱為向量加法.向量加法遵循三角形法則與平行四邊形法則.

圖2三角形法則

圖3平行四邊形法則

情境2在平坦的地面上，八戒與沙僧共同推動一個箱子，而悟空獨自推動一個箱子.這個力的組合可被視為一種基于向量加法的平行四邊形法則實體模型.

思考1對于向量的加法，其中的平行四邊形法則與三角形法則是否相同？為什么？

圖4思考1示例圖

思考2對于兩個共線的向量，我們能否求得其相應的和？它們的合成方式和數字的相加減有何關系？

圖5思考2示例圖

思考3對于零向量和任何非零向量，我們是否可以計算出它們的和？

在本教學環節中，教師采取了以下策略：首先，使用學生比較熟悉的情境引入，以此來吸引他們的注意力，并激發他們的學習熱情；其次，把向量的加法計算的核心內容融入特定的情境中，這不僅與案例相關聯，也與物理有著緊密的聯系，強調了向量的應用功能及數學在日常生活及其他領域的重要地位；再者，在基本層面引導學生探討向量加法的三角形法則與平行四邊形法則之間的關聯與差異；最后，引導學生去感受從一般情形到特殊情形的認知轉變，讓學生意識到并非所有的向量加法問題都能夠通過三角形法則或者平行四邊形法則來處理，并且要求他們注意向量中的特殊類型—零向量.

4加強數學知識聯系，理清運算思路

從認知發展角度來看，學生掌握基礎運算知識通常不構成顯著困難.通過對既有運算經驗的回溯性分析，如實數運算、集合運算、代數式運算等，可以發現，每一類運算都具有獨特的屬性和對應的法則，其中，向量運算則被稱為“帶方向的運算”，這與以往的運算方法有所區別.通過觀察運算的內容可以發現，向量運算也涵蓋了加、減、數乘的線性運算，這與數的運算有著相似之處.然而，二者在運算和應用上的實質性差異仍需引起師生的充分重視.由于高中生的理解水平較高，教師在教學時可采取將數字的運算與實際情況相結合的教學模式，從而使其能夠掌握學習向量的核心技能，構建出全面的向量運算框架，從而增強他們的數學思維能力.在處理幾何問題時，學生可以將幾何與代數知識相結合，借助坐標軸與向量的數值累加的策略，把一些幾何問題變成代數問題，或者把一些代數問題變成幾何問題來解決.這種數形轉換的策略不僅能拓展解題思路，更能深化學生對數學本質的理解.

5關注平面向量背景，滲透數形結合

在高中數學知識體系中，平面向量是連接幾何與代數的紐帶.這種代數與幾何相結合的形式，為解決傳統數學問題提供了新型研究范式.教師在教學時應當詳細闡述向量的產生原因和功能，讓學生對平面向量的運算有更深入的理解.教師可以通過比較現行的“數量\"“數”“集合\"的學習過程確定向量的學習路徑，如“定義一表示一關注特殊元一二元關系及分類（尤其是相等）一構造運算及性質一應用”.這不僅能夠給未來的研究提供路徑，也能在未來的學習中發揮一定程度的引領效果.在學習平面向量的過程中，學生的運算能力和速度的提高不僅與他們對知識的理解相關，也與他們的解題能力相關.通過計算平面向量，學生能夠對問題的本質有更深的理解，并能快速找到解決問題的策略.在此過程中，基本的向量知識對于運算能力的提高起著關鍵的作用.從相關測試題來看，學生在處理投影向量及其相關的模型上存在著顯著的困難.以下示例通過分析平面向量的投影，進一步了解數形結合的必要性

例題已知 a，b 為單位向量，且 ·|a-b| ，則 a 在 a+b 上的投影向量模長為.

A. B. 26 C （204號 D. 3

方法1：代數方法，因為 a，b 為單位向量，所以 |a|=|b|=1 業

又因為 ，所以 （a-b）²= 2（a-b）² ，則 a²+2a?b+b²=2a²-4a?b+2b² 即 1+2pmba?b+1=2-4a?b+2 ，所以

則 a?（a+b）= ，所以 在 a+b 上的投影向量模長

方法2：幾何方法.

$＼boxed ＼begin{array} { c } { ＼boxed { k } } ＼＼ { ＼end{array} }$

如圖6所示，設 所以

由 ，可設

在三角形 OAE 中，可得 所以 ，解得 ·

則 在 a+b 上的投影向量模長為 （204號

本例題從代數和幾何兩個角度進行處理，使學生清晰地認識到向量在幾何和代數中的重要性.同時，將數形結合的思想融入其中，有助于提高學生的學習效果.因此，在向量教學中，教師需要幫助學生掌握簡化、計算、交流、總結等問題處理方法，以及運用數形結合思想解決問題，以促進學生建立正確的解題范式.此外，教師也要留意學生的常見錯誤，協助他們總結經驗，以提高解決問題的精確度和有效性.在數學教學中，教師必須深人研究教材里的數學思維模式，并將其貫穿整個教學過程

6結語

許多學生已經對平面向量的運算含義有了基本的認識，并且可以在實際問題中識別出向量運算與其他運算的聯系和差異.他們已經對運算公式和運算法則有了基本的理解，具備了訓練運算技能的機會，使之能夠解決常見的平面向量運算問題.水平更高的學生，能夠綜合運用多種運算方法，靈活轉換思路，采用更簡潔的策略解決問題，快速且準確地構建出合理、邏輯清晰、易于理解的運算過程.

參考文獻

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[2]胡越源.基于核心素養的高中數學大單元教學中數學運算能力的培養.數理天地（高中版），2025（11）：145-147.