挖掘特征顯本質去除干擾探解法

中考幾何問題是命題專家精心設計的優質教學資源，是培養學生數學核心素養的重要載體，對學生幾何推理能力的培養具有重要作用.2024年哈爾濱市中考數學第20題是一道以矩形為背景的幾何問題，其圖形較為復雜，同時求解問題與已知條件之間的關系較為隱蔽，這在一定程度上增加了學生的解題難度.通過挖掘圖形的基本結構特征，筆者發現該題實質上是一道與等腰三角形有關的幾何計算問題.基于此，筆者嘗試去除干擾元素，使圖形簡潔明了，從而清晰地展現所求問題與已知條件之間的關系.在此基礎上，通過立足基本圖形的性質特征，探究問題的多種解法，提升學生的問題解決能力.

1題目再現

如圖1，矩形ABCD的對角線 AC，BD 相交于 點 O ，延長 BC 至點 G ，連接 DG ， ∠CDG= ，點 E 為 DG 的中點，連接 OE 交 CD 于 點 F 若 AO=6EF ，則 DF=

圖1

2題目分析

本題是一道以矩形為問題情境的線段長度計算問題.由矩形的性質，可知 OA=OB=OC=OD ，易知點 O 是 BD 的中點.又因為點 E 為 DG 的中點，所以 OE 是 ΔDBG 的中位線，則 OE//BG，BG= 2OE.顯然， DC 是 ΔDBG 的邊 BG 上的高.根據相似三角形的性質易得 ，即DF=CF，由此易得 BC=2OF ， CG=2EF .令 ∠CDG=α ，則∠AOB=4α A ∠G=90^°-α .因為 ΔBOC 是等腰三角形，所以 ∠DBG=2α .在 ΔDBG 中，由三角形內角和定理可知， ∠BDG=180^°-2α-（90^°-α）=90^°-α ，所以 ∠BDG=∠G ，即 ΔDBG 是等腰三角形， BD= BG.顯然，本題創設的矩形情境僅提供了某些線段或角之間的關系.實際上，該問題的本質是如下的等腰三角形問題

如圖2，在 ΔDBG 中， BD=BG，CD 是腰 BG 上的高，垂足為點 _C，OE 是 ΔDBG 的中位線，交 CD 于點 F ^°，BG=12EF ，求線段 DF 的長.

圖2

從問題設置來看，本題需求解線段 DF 的長，這通常與勾股定理、相似三角形有關.由此可以看出，本題主要考查矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角形中位線的性質等知識，這些知識是初中數學中最基礎、最核心的內容，也是中考數學的重要考點.因此，本題的綜合性較強，對學生分析、解決問題的能力要求較高，是填空題中的一道壓軸題.

3解法探究

基于題目分析，為簡化求解過程，以圖2為基礎，立足基本圖形的性質，從不同角度給出本題的多種解法.

思路1：利用勾股定理求解，

解法1：如圖2，因為 OE 是 ΔDBG 的中位線，所以 又因為 ∠ODE=∠BDG ，所以 ΔDOE～ΔDBG. 根據相似三角形的性質“相似三角形對應高的比等于相似比”，易知 同理可知，OF= CG.因為CD是BG上的高，所以CD」BG.令 EF=x ，則 CG=2x ， BD=BG=12x ，所以 BC= 10x .在 RtΔBCD 中，根據勾股定理可得 CD²= BD²-BC²=（12x）²-（10x）²=44x² 在 RtΔCDG 中，根據勾股定理可得 CD²=DG²-CG²= ，從而可得 44x²=48- 4x² ，解得 x=1 （負根已舍去），即 EF=1 在RtΔDEF 中，根據勾股定理可得 DF=

點評：這種解法是先利用相似三角形的性質構建有關線段之間的數量關系，然后利用勾股定理構建方程解決問題.在列方程過程中，用到了“算兩次”原理，即先在不同直角三角形中表示同一條線段 CD 的長，然后列出一元二次方程.這種方法是解決具有一條公共邊的兩個直角三角形計算問題的常用方法，具有普適性

解法2：如圖2，令 EF=x ，則 CG=2x . BD= BG=12x ，所以 BC=10x .由此易知 OF=5x OD= 在 RtΔDEF 中，根據勾股定理可得 DF²+EF²=DE² ，即（20 ，解得 x=1 （負根已舍去），即

點評：這種解法與解法1類似，都是利用勾股定理尋找已知條件與所求結論之間的數量關系，為問題解決尋找突破口.由此可以看出，勾股定理在求解線段長度的幾何問題中具有重要作用，是學生必須掌握的基礎知識.直角三角形既是學生必須掌握的基本圖形，又是解決某些復雜問題的基本工具.

思路2：利用相似三角形求解.

解法3：如圖3，連接 CE .令 EF=x ，則 CG= 2x，BD=BG=12x 因為點 E 是線段 DG 的中點，CD⊥BG ，即 CE 是 RtΔCDG 的斜邊 DG 上的中線，所以 令 ∠DCE=∠CDG=α ，則∠CEG=2α . ∠G=90^°-α .又因為 BD=BG ，所以 ∠BDG=∠G=90^°-α .根據三角形內角和定理易得 ∠B=2α ，即 ∠CEG=∠B ，從而易知 ΔCEG～ △DBG，所以 BG，即 ，解得 x=1 負根已舍去），易求得

圖3

點評：這種解法通過構造相似三角形得到已知條件與所求問題之間的數量關系，其計算量小，求解過程簡潔明了.在問題解決過程中，想要發現相似三角形，需對等腰三角形的結構特征有深入的了解，這樣在構造輔助線時才能做到有的放矢.由此可以看出，構造相似三角形也是解決與線段長度有關問題的常用方法.

解法4：如圖4，連接 BE .令 EF=x ，則 CG= 2x，BD=BG=12x. 因為 BD=BG ，點 E 是線段 DG 的中點，根據等腰三角形“三線合一”的性質，易得BE⊥DG ，即 ∠BEG=90^° .因為 CD 是 BG 上的高，得 ∠DCG=90^° ，從而易知 ΔDCG～ΔBEG ，所以（20 （204號EG=BG，即 ，解得 x=1 （負根已舍去），易求得

圖4

點評：這種解法主要運用了等腰三角形“三線合一\"的性質，通過構造相似三角形為問題解決創造有利條件.因此，在解決幾何問題時，應當首先分析圖形的基本結構特征，然后將其與所學幾何知識建立聯系，從而明確解題方向，避免盲目嘗試而浪費寶貴的答題時間.

解法5：如圖5，作點 G 關于直線 CD 的對稱點H ，連接 DH .因為 BG⊥CD ，所以點 H 一定在線段BC 上.令 EF=x ，則 CH=CG=2x ， BD=BG= _12x .易知 ∠HDG=∠B ，所以 ΔHDG～ΔDBG 所以 即 ，解得 x=1 （負根已舍去），易求得 ·

圖5

點評：這種解法通過軸對稱變換得到了 ∠CDG 的二倍角，從而將 RtΔCDG 擴充為等腰三角形.由于該等腰三角形與 ΔDBG 的底角相等，可判定二者相似，進而利用相似三角形的性質解決問題.這種解法較為新穎，能有效培養學生的創新意識和創新能力，對提升學生的數學核心素養具有重要作用，

4類題探究

如圖6，矩形ABCD的對角線 AC，BC 相交于點O ，點 E，F 分別是線段 OB，OA 上的點.若 AE= BF ， AB=5 ， AF=1 ， BE=3 ，則 BF 的長為

圖6

本題表面上也是與矩形有關的幾何計算問題但它本質上也是如下的等腰三角形問題

如圖7，在 ΔAOB 中， OA=OB ，點 E，F 分別是線段 OB，OA 上的點.若 AE=BF ?AB=5，AF=1 .BE=3 ，求 BF 的長.

圖7

由于篇幅限制，本文未詳細展開具體求解過程，請讀者自行探究.

5結語

隨著新課程標準和新教材的落地，核心素養的培養顯得尤為重要.幾何推理能力是學生數學核心素養的重要組成部分，在初中數學教學中占據重要地位.中考試題是培養學生核心素養的重要內容，對初中數學教學具有一定的導向作用.在初中幾何教學中，教師需引導學生養成挖掘圖形結構的意識，去除多余的干擾線段，從而揭示問題的本質，使得求解問題與已知條件之間的關系外顯化、直觀化，為問題解決創造條件.